1.多元线性回归

多元线性回归的代码实现如下：

> data3.1<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data3.1.csv",head=TRUE)
> lm3.1<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9,data=data3.1)
> summary(lm3.1)

输出结果为：

　　因而$y$对9个自变量的线性回归方程为：
　　$\hat{y}=320.6+1.317x_1+1.65x_2+2.179x_3-0.006x_4+1.684x_5$
　　　　　　　　　$+0.01x_6+0.004x_7-19.13x_8+50.52x_9$
　　　　　　　
　　由summary()语句的输出结果可以看出，其中$F$值为$299$,对应的$P$值为$2.2e-16$，由此可知次回归方程整体上高度显著，即做出9个自变量整体对因变量$y$产生显著线性影响的判断所犯错误的概率约为0.

2.方差分析

对于线性回归的方差分析，R语言中不仅可使用函数anova()得到方差分析表，还可以使用函数Anova()。

> library(car)
> Anova(lm3.1,type="III")

得到结果如下：

　　从上述结果中看出，在显著性水平$\alpha =0.05$下，只有$x_1,x_2,x_3,x_5$对$y$产生显著线性影响。

3.偏相关系数

偏相关系数测定在回归方程中已包含若干个自变量时，在引入某一个新的自变量时，$y$的剩余变差的相对减少量，它衡量某自变量对$y$的变差减少的边际贡献。偏决定系数的算术平方根为片相关系数。

> data3.2<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data3.2.csv",head=TRUE)
> lm3.2<-lm(y~x1+x2,data=data3.2)
>  r<-cor(data3.2)
> library(corpcor)
> pcor3.2<-cor2pcor(r)

输出结果为：
相关系数：

偏相关系数：

　　从上面结果可以看出，$r_{y1;2}=0.802$（$r_{y1;2}$表示模型中已含有$x_2$时再加入$x_1$使$y$的剩余变差的相对减少量），$r_{y1;2}=0.739$，进一步计算可得到偏决定系数$r_{y1;2}^2=0.643,r_{y2;1}^2=0.546$.
　　由相关系数矩阵可知，$y$与$x_1$的简单相关系数$r_{y1}=0.807$，则决定系数$r_{y1}^2=(0.807{)}^{{}^2}=0.652$.
　　以上数据表明，用$y$与$x_1$做一元线性回归时，$x_1$能消除$y$的变差SST的比例是62.5%，再引入$x_2$时，$x_2$能消除剩余变差SSE的比例是54.6%，因而自变量$x_1$和$x_2$消除变差的总比例为$1-(1-r_{y1}^2)(1-r_{y2;1}^2)=1(1-0.652)\times (1-0.546)=0.842$，这个值恰好是$y$对$x_1$和$x_2$的二元香型回归的决定系数$R^2$.