经常有同学问复数集合作为复数域和实数域上的线性空间的区别，本文给予一个比较详细的解释。

1 线性空间定义的四个要素

线性空间$V(+,\cdot )$是一个代数系统，它的定义有四个要素：
（1）一个数域$P$；
（2）一个非空集合$V$；
（3）两种线性运算：加法和数乘；
（4）八条运算规律：加法运算律$A_1\sim A_4$, 数乘运算律$M_1\sim M_4$。

复数集合$C$按照复数的加法和复数与数域$P$中的数乘完全符合上述定义的各项要素，所以是线性空间。当数域$P$分别是复数域$C$和实数域$R$时，$C$是不同的线性空间。这里有点绕，当我们把$C$看成复数域$C$上的线性空间时，这里的两个$C$有不同的含义，按照定义去扣的话，前一个$C$充当定义里的非空集合$V$, 而后一个$C$充当定义中的数域$P$。

复数域上的空间$C$和实数域上的空间$C$的根本区别在数乘运算上：

例如，复数域上的空间$C$中: $\forall w\in C,$ 数乘$2i\cdot w$是允许的，而在实数域上的空间$C$中: $\forall w\in C,$ 数乘$2i\cdot w$是不允许的，因为$2i\notin R$。数域$R$限制了做复数向量的线性组合时，系数只能用实数。

数乘运算的这种区别决定了这两种空间的维数和基的不同。

2 两种空间的维数和基

所谓"基"，就是空间$V$中的一组线性无关的向量组，使得$Ｖ$中的每一个向量都能被这组向量组表示出来。下面就用这个思路来求这种空间的基。
（1）复数域上的空间$C$
$\forall w\in C$, 由于$w=w\times 1,$ 所以1是该空间的一组基，所以这个空间的维数是1维。

(2)实数域上的空间$C$
$\forall w\in C$, 由于现在数域是实数域，所以只能用实数作为组合系数，于是
$$w=a\times 1+b\times i,a,b\in R,$$

所以，1和$i$是该空间的一组基，维数是2维。

3 与这两种空间有关的一道线性变换题目

为了方便设$V_1$表示复数域上的线性空间$C$, $V_2$表示实数域上的线性空间$C$。定义线性变换：
$$\sigma (w)=\overline{w},w\in C,$$

即为取复数的共轭复数。请问$\sigma$是$V_1$或者$V_2$上的线性变换吗？

要判断$\sigma$是否为线性变换，关键看它是否保持线性运算。
在$V_1$中，

$$\sigma (iw)=\overline{iw}=\overline{i}\overline{w}=-i\overline{w}̸=i\overline{w}=i\sigma (w),$$

所以，$\sigma$不是$V_1$上的线性变换。

在$V_2$中， $\forall w\in C,\forall a\in R,$

$$\sigma (aw)=\overline{aw}=\overline{a}\overline{w}=a\overline{w}=a\sigma (w),$$

所以，$\sigma$是$V_2$上的线性变换。

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