FMCW信号

调频连续波(frequency modulated continuous wave，FMCW)顾名思义，就是对信号的频率进行线性调制的信号。

从时域上看，对频率的调制，就像一把连续的锯齿波。其中每一个锯齿叫做一个chirp，其持续的时间叫做chirp的周期（chirp period 或 chirp repetition time）；在实际使用中，我们将chirp合并成一帧（frame）进行发送，从而得到物体的速度（或多普勒频偏）信息，是为FMCW信号。

我们定义扫频带宽与chirp周期的比值为系数K，也即锯齿波的斜率（slope）。
$$K=\frac{扫频带宽}{chirp周期}=\frac{扫频终止频率-扫频起始频率}{chirp周期}$$

如果从时域上看此时信号幅度的变化，可以发现随着时间的推移，对应正弦波的频率会越来越高，即呈现越来越密的特点。

中频信号

我们采用的IF信号就是指接收的回波信号与原始信号进行混频后，再过低通滤波器得到的低中频信号（或差拍信号，beat signal）。用一个简图来表示就是：

我们只关注1处发射信号、2处接收信号和3处IF信号的表达形式即可。

1处发射信号

由于发送信号为FMCW信号，取其中一个chirp，我们知道相位对时间的导数为角频率（再除以$2\pi$即频率），如下：
$$\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}=f_o+Kt$$
于是，我们对上式两边积分，就有：
$$\varphi =2\pi (f_{o}t+\frac{1}{2}K{t}^2)+{\varphi }_o=2\pi f_{o}t+\pi K{t}^2+{\varphi }_0$$
所以1处发射信号的形式为：
$$x_{Tx}(t)=A\sin (2\pi f_{o}t+\pi K{t}^2+{\varphi }_0)$$

注意上式为发送的实信号形式（在物理世界中传输的都是实信号），将其转换为复信号（在信号处理中这可由希尔伯特变换实现），即

$$x_r=A{e}^{j(2\pi f_{o}t+\pi K{t}^2+{\varphi }_0^{\prime })}$$

其中，K为斜率，${\varphi }_o$为信号的初始相位，$f_0$为中心频率：

$$f_o=\frac{扫频起始频率+扫频结束频率}{2}$$

2处接收信号

发送的信号在遇到目标（Target）后就会反射，从而产生2处接收天线的回波信号，假设这个时延为$\tau$，衰减系数为$a$，则

$$\begin{gathered} x_{Rx}(t)=a{x}_{Tx}(t-\tau )=A^{\prime }\sin [2\pi f_o(t-\tau )+\pi K(t-\tau {)}^2+{\varphi }_0] \\ =A\sin [\pi K{t}^2+2\pi (f_o-K\tau )t+\pi K{\tau }^2-2\pi f_o\tau +{\varphi }_0] \end{gathered}$$

3处IF信号

根据三角公式中的积化和差公式，即：
$$\sin (\alpha )\sin (\beta )=\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$$

于是我们混频后的信号为：
$$\begin{gathered} x_{Tx}(t)\times x_{Rx}(t)=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }[\cos (2\pi K\tau t+2\pi f_o\tau -\pi K{\tau }^2) \\ -\cos (2\pi (2f_o-K\tau )t+...)] \end{gathered}$$
经过低通滤波器后，结果中的和式将作为高频成分被滤除，而只留下差式中低频的成分，我们再将这个差信号通过中频放大器放大，最终将得到3处的中频信号，即：

$$x_{IF}(t)=A^{\prime \prime }\cos (2\pi K\tau t+2\pi f_o\tau -\pi K{\tau }^2)$$

我们再对上面的参数有一个感性的认识：由于电磁波以光速运动，在前方1m处的目标其时延$\tau$的量级大致在$10^{-8}$，$f_0$对于毫米波雷达在$10^9$量级，而一般的 K 大概是1GHz除以0.1ms级别，即$10^{13}$级。比较两个附加相位：
$$f_o\tau \approx 10K{\tau }^2\approx 10^{-3}$$
所以最后一项的附加相位几乎可以忽略不计，即一般将中频信号的形式写为：

$$x_{IF}(t)=A^{\prime \prime }\cos (2\pi K\tau t+2\pi f_o\tau )$$

上式即为本文最终要得出的式子。