1. 不变性微分算子

Hamilton 算子（Nabla 算子）又称作不变性微分算子，这是因为它对张量场所作微分运算的形式不随坐标系的改变而改变，如：在不同坐标系 { X i ′ − G ⃗ i ′ } \{\mathscr{X}^{i'}-\vec{\mathscr{G}}_{i'}\} {Xi′−G i′​}与 { x i − g ⃗ i } \{x^i-\vec{g}_i\} {xi−g ​i​} 中计算张量的梯度
$$▽\mathbf{T}={\vec{\mathcal{G}}}^{i^{\prime }}\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial {\mathcal{X}}^{i^{\prime }}}={\vec{\mathcal{G}}}^{i^{\prime }}\left(\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial {\mathcal{X}}^{i^{\prime }}}\right)=\left(\frac{\partial x^j}{\partial {\mathcal{X}}^{i^{\prime }}}{\vec{\mathcal{G}}}^{i^{\prime }}\right)\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^j}=({\beta }_{i^{\prime }}^j{\vec{\mathcal{G}}}^{i^{\prime }})\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^j}={\vec{g}}^j\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^j}$$

2. 散度

对于 $r(r\ge 1)$ 阶张量场 $\mathbf{T}$，定义：
$$\begin{gathered} 左散度：▽\cdot \mathbf{T}\triangleq {\vec{g}}^i\cdot \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^i}\triangleq div\mathbf{T} \\ 右散度：\mathbf{T}\cdot ▽\triangleq \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^i}\cdot {\vec{g}}^i \end{gathered}$$
显然，一般
$$▽\cdot \mathbf{T}\ne \mathbf{T}\cdot ▽$$
举例：

• 向量场的散度：
  $$▽\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot ▽=v_{;i}^i=v_{,i}^i+v^j{\Gamma }_{ij}^i=v_{,i}^i+\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial x^j}{v}^j=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial (\sqrt{g}{v}^j)}{\partial x^j}$$
• 二阶张量场的散度：
  $$\begin{gathered} ▽\cdot \mathbf{A}=A_{;i}^{ij}{\vec{g}}_j=A_{\bullet j}^i{|}_{;i}{\vec{g}}^j \\ \mathbf{A}\cdot ▽=A_{;j}^{ij}{\vec{g}}_i=A_i^{\bullet j}{|}_{;j}{\vec{g}}^i \end{gathered}$$
  通过上式可知：对称二阶张量的左右散度相等。
• 三阶张量场的散度：
  $$\begin{gathered} ▽\cdot \mathbf{T}=A_{;i}^{ijk}{\vec{g}}_j{\vec{g}}_k \\ \mathbf{A}\cdot ▽=A_{;j}^{ikj}{\vec{g}}_i{\vec{g}}_k \end{gathered}$$

书写规则:

• 由于梯度点乘时总是自带逆变基，因此为方便点积，将张量分量靠近Nabla 算子的指标取为逆变指标，从而省去度量张量的分量；
• 张量分量靠近Nabla 算子的指标与协变导数的坐标指标相同，其余指标与基向量的指标形成哑指标。

3. 旋度

对于 $r(r\ge 1)$ 阶张量场 $\mathbf{T}$，定义：
$$\begin{gathered} 左散度：▽\times \mathbf{T}\triangleq {\vec{g}}^i\times \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^i}\triangleq curl\mathbf{T}=ϵ:(▽\mathbf{T}) \\ 右散度：\mathbf{T}\times ▽\triangleq \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial x^i}\times {\vec{g}}^i=(\mathbf{T}▽):ϵ \end{gathered}$$
显然，一般
$$▽\times \mathbf{T}\ne \mathbf{T}\times ▽$$
举例：矢量场的旋度
$$\begin{gathered} ▽\times \vec{v}=v_{j;i}{ϵ}^{ijk}{\vec{g}}_k=(v_{j,i}-v_m{\Gamma }_{ji}^m){ϵ}^{ijk}{\vec{g}}_k=v_{j,i}{ϵ}^{ijk}{\vec{g}}_k=\frac{1}{\sqrt{g}}\left|\begin{array}{ccc}{\vec{g}}_1& {\vec{g}}_2& {\vec{g}}_3\\ & & \\ \frac{\partial }{\partial x^1}& \frac{\partial }{\partial x^2}& \frac{\partial }{\partial x^3}\\ & & \\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right| \\ \vec{v}\times ▽=v_{j;i}{ϵ}^{jik}{\vec{g}}_k=-▽\times \vec{v} \end{gathered}$$

书写规则:

• 由于梯度点乘时总是自带逆变基，为方便叉积，将张量分量靠近Nabla 算子的指标取为协变指标，从而省去度量张量的分量；
• 旋度的分量由协变导数与置换张量的逆变分量组成。

命题 给定向量场 $\vec{v}$，则反对称张量场
$$\frac{1}{2}(\vec{v}▽-▽\vec{v})，\frac{1}{2}(-\vec{v}▽+▽\vec{v})$$
的对偶矢量分别为:
$${\vec{\omega }}_1=\frac{1}{2}(▽\times \vec{v})，{\vec{\omega }}_2=\frac{1}{2}(\vec{v}\times ▽)$$

证明如下：
$$\begin{array}{rl}& \vec{\omega }=-\frac{1}{4}ϵ:(\vec{v}▽-▽\vec{v})\\ & \\ & =-\frac{1}{4}(\vec{v}\times ▽-▽\times \vec{v})\\ & \\ & =\frac{1}{2}▽\times \vec{v}\end{array}$$

4. Laplace 算子

定义 $r(r\ge 1)$ 阶张量场 $\mathbf{T}$ 的Laplace 算子：
$${▽}^2\mathbf{T}=▽\cdot (▽\mathbf{T})=div(grad\mathbf{T})$$
若 ${▽}^2\mathbf{T}=0$ 则称 $\mathbf{T}$ 是调和的。

举例：标量场的Laplace 算子
$$\begin{array}{rl}& {▽}^2\varphi =▽\cdot (▽\varphi )=▽\cdot ({\varphi }_{,i}{\vec{g}}^i)\\ & \\ & =g^{ij}({\varphi }_{,i}{)}_{;j}=g^{ij}({\varphi }_{,ij}-{\varphi }_{,m}{\Gamma }_{ij}^m)\\ & \\ & =(g^{ij}{\varphi }_{,i}{)}_{;j}=(g^{ij}{\varphi }_{,i}{)}_{,j}+g^{im}{\varphi }_{,i}{\Gamma }_{mj}^j\\ & \\ & =(g^{im}{\varphi }_{,i}{)}_{,m}+g^{im}{\varphi }_{,i}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial x^m}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial (\sqrt{g}{g}^{im}{\varphi }_{,i})}{\partial x^m}\end{array}$$