数的拆分

以下为个人对赛题的一个分析，不能保证正确性，如果认为分析有问题，请批评指正。

最终代码有还有问题，为开根号的精度问题，如果是开3，7次根等，则可能误判。

问题描述

问题分析

分析一

问题正整数$a_i$能否表示为$x_1^{y_1}\ast x_2^{y_2}$，一个朴素的想法是获取到 $10^9$ 次方的素数表，然后用a去模素数表（prime_table）中的元素，当余数为零时y1加1,$a=a//prime\_table[i]$ 直到余数不为零，即算出了$x_1,y_1$同理算出$x_2,y_2$。即

# 获取素数表，为确定性算法。从小到大。
def get_prime_table(n):
    prime_table = [2, 3, 5, 7]
    if n <= 10:
        return prime_table
    sqrt_n = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
    for i in range(11, n + 1, 2):
        j = 0
        len_prime_table = len(prime_table)
        flag = True
        while j < len_prime_table and prime_table[j] < sqrt_n:
            if i % prime_table[j] == 0:
                flag = False
                break
            j += 1
        if flag:
            prime_table.append(i)
    return prime_table
# n为题目中的a，prime_table为按序排列的素数表
def can_frac(n, prime_table):
    prime_len = len(prime_table)  # 素数表元素个数。
    n_sqrt = math.floor(math.sqrt(n)) + 1  # 根号n范围内有无数的平方满足条件。
    i = 0
    # 遍历素数表
    while i < prime_len and prime_table[i] <= n_sqrt:
        x1 = n
        y1 = 0
        # 算出x1^{y1}
        while x1 % prime_table[i] == 0:
            x1 = x1 // prime_table[i]
            y1 += 1
        if y1 == 1: return False  # 如果y1等于1不满足题意
        if x1 == 1:  # 如果刚好为a=x1^{y1}次方的情况。
            print(prime_table[i], y1)
            return True
        # 此时 x1 为 a//x1^{y1}。
        # 判断第二个数是否满足题意
        i += 1  # i+1之前不可能有满足的数可以整除x1了
        if y1 >= 2:
            y1 = 0
            while x1 % prime_table[i] == 0:
                x1 = x1 // prime_table[i]
                y1 += 1
            # 如果第二个数为满足题意的数，则x1为1，y1为大于等于2的数
            if y1 >= 2 and x1 == 1:
                return True
            else:
                return False
    return False

# 处理题目输入
n = int(input())
test_list = []
for i in range(n):
    test_list.append(int(input()))
print(test_list)

start = time.time()
#获取素数表
pt1 = get_prime_table(10 ** 5)
for e in test_list:
    if can_frac(e, pt1):
        print("yes")
    else:
        print("no")
end = time.time()
print(end - start)
# 0.10699892044067383

以上算法只能处理$a<=10^9$的情况。主要耗时来源于获取素数表，求$10^5$范围内素数表大约耗时0.10699892044067383

难点在于当数位$10^{18}$次方时获取素数表将非常耗时，最坏情况为一个数$x_1$非常接近$10^9$，这个数的平方为a，即$a=x_1^2$，如果是用以上方法查素数表，首先表的素数范围为$10^9$内的素数，其次$x_1$要从2遍历到素数表末尾才能获取到$a=x_1^2$。这两个步骤较为耗时的是获取$10^9$的素数表。

start = time.time()
pt1 = get_prime_table(10 ** 6)
end = time.time()
print(end - start)
# 2.228759288787842
# 10 ** 7
#44.911319732666016

可见当获取到$10^7$的素数表时，就已经不能满足题目要求的5s要求了。

所以只能考虑素数表在$10^5$范围内的情况。

分析二

据题，有两种情况满足题意。

情况一

$a$是某个素数的k次方，假设$a=x_1^k$，其中$x_1$为素数，k大于等于2。

此时考虑$x_1$的范围，$2\le x_1\le \sqrt{a}\le 10^{18/2}$,如果有$x_1$满足题意，必然有$x_1=\sqrt[k]{a}$ 且$x_1$是整数。

只要知道k的范围遍历即可。易知当$x_1=2$时k有最大值为$\lfloor lo{g}_2^a\rfloor +1$;当$x_1=a^{1/2}$时k有最小值2。

情况一解法：

即使$a=10^{18}$,也只需要遍历60步

# 判断是否为情况1,即为一个素数的k次方的情况。
def is_case_single_num(n):
    k = math.floor(math.log2(n)) + 1
    for i in range(2, k + 1):#python 区间左闭右开 
        if math.pow(n, 1 / i).is_integer():# 这里存在问题
            print(math.pow(n, 1 / i), i)#打印中间结果
            return True
    return False

情况2

如果$x_1,x_2\ne 1$,且$y_1,y_2\ge 2$,$x_1,x_2$为素数。

考虑$x_1,x_2$取到最大的情况（为了查表，求出素数表的上界），显然当$y_1,y_2=2$时，$x_1,x_2$有最大值。

即$a=(x_1\times x_2{)}^2$,此时$x_1{x}_2\le 10^{18/2}=10^9$,不妨假设$x_1$为较小值，$x_2$为较大值。如果要满足题意，$x_1$确定了则$x_2$就确定了，即$x_1=k,x_2=\sqrt{a}/x_1$,并且当$x_1$增加时$x_2$就会减小，并且最多当$x_1=x_2$时如果仍无解，那么就不会有解了。

当$x_1=x_2时$有$a=(x_1{)}^4$，那么$x_1$遍历的范围为$[2,\sqrt[4]{a}=10^{18/4}=10^{4.5}]$,所以素数表的范围只需要最多到$10^5$即可。

通过以上分析获取到$x_1$所需要遍历素数表的范围后，即可轻易解出$x_1,y_1$,而且解出$x_1,y_1$后，$a/x_1^{y_1}$就退化为了情况1。至此分析完毕。

完整代码

def get_prime_table(n):
    prime_table = [2, 3, 5, 7]
    if n <= 10:
        return prime_table
    for i in range(11, n + 1, 2):
        j = 0
        len_prime_table = len(prime_table)
        flag = True
        while j < len_prime_table and prime_table[j] < math.floor(math.sqrt(n)) + 1:
            if i % prime_table[j] == 0:
                flag = False
                break
            j += 1
        if flag:
            prime_table.append(i)
    return prime_table


# 判断是否为情况1,即为一个素数的n次方的情况。
def is_case_single_num(n):
    # n_div = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
    k = math.floor(math.log2(n)) + 1
    for i in range(2, k + 1):
        if math.pow(n, 1 / i).is_integer():
            print(math.pow(n, 1 / i), i)
            return True
    return False


def can_frac(n, prime_table):
    x1 = n
    y1 = 0
    # 判断是否为情况1
    if is_case_single_num(n):
        return True
    # n_sqrt4 = n开4次根
    n_sqrt4 = math.floor(math.sqrt(math.floor(math.sqrt(n)) + 1)) + 1
    prime_len = len(prime_table)
    i = 0
    # 遍历素数表
    while i < prime_len and prime_table[i] < n_sqrt4:
        # 算出x1^{y1}
        while x1 % prime_table[i] == 0:
            x1 = x1 // prime_table[i]
            y1 += 1
        if y1 == 1: return False  # 如果y1等于1不满足题意
        # 退化为情况1
        if y1 >= 2:
            if is_case_single_num(x1):
                print(prime_table[i], y1)
                return True
            else:
                return False
        i += 1
    return False


n = int(input())
test_list = []
for i in range(n):
    test_list.append(int(input()))
start = time.time()
# xi 一定小于10^{4.5}，素数表
pt1 = get_prime_table(10 ** 5)
for e in test_list:
    if can_frac(e, pt1):
        print("yes")
    else:
        print("no")
end = time.time()
print(end - start)

100000条耗时：6.964517831802368