1、余弦相似度

给定两个属性向量，A和B，其余弦相似性θ由点积和向量长度给出，如下所示：

符号表示：

 

 

其中：分别代表向量A和B的各分量

数值表示：

（二维）

 

（高维）

 

给出的相似性范围从-1到1：

-1意味着两个向量指向的方向正好截然相反，1表示它们的指向是完全相同的，0通常表示它们之间是独立的，而在这之间的值则表示中间的相似性或相异性。

 

余弦距离：

2、欧式距离

N维欧氏空间中两点，间的距离公式：

 

3、二者关系

标准化之后的欧式距离近似于余弦距离

证明如下：

证法一：

假设二维空间两个点，

 

然后归一化为单位向量

 

那么余弦相似度为：

 

 

欧式距离为：

 

化简后结果：

作图如下：

可以从图像上看到二者的值比较接近

对于高维空间与二维类似

 

证法二：

余弦相似度的定义公式为

，

归一化后

余弦距离：

欧式距离：

由公式可以看出归一化后，欧式距离与余弦距离存在单调性关系，此时两种距离的值域都为[0,2]。

欧式距离与余弦距离的对比：

1.欧式距离的数值受到维度的影响，余弦相似度在高维的情况下也依然保持低维完全相同时相似度为1等性质。

2.欧式距离体现的是距离上的绝对差异，余弦距离体现的是方向上的相对差异。

 

参考：

https://www.zhihu.com/question/19640394

https://www.cnblogs.com/airnew/p/9563703.html

https://blog.csdn.net/lucky_kai/article/details/89514868