STFT的综合分析--滤波器组求和(FBS)和叠相相加(OLA)

STFT的公式可以表示为：X(n,w)=∑n=−∞n=∞x(m)w(n−m)e−jwmX(n,w)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}x(m)w(n-m)e^{-jwm}X(n,w)=n=−∞∑n=∞x(m)w(n−m)e−jwm上一篇博客介绍了STFT的可以解释为滤波操作，将www 固定于某个值，X(n,wk)=∑m=−∞m=∞[x(m)e−jwkm]w(n−m)=[...

myuzhao

4265人浏览 · 2019-10-25 23:42:54

myuzhao · 2019-10-25 23:42:54 发布

STFT 固定频率时的两种解释

第一种解释

STFT的公式可以表示为：
$X(n,w)=∑n=−∞n=∞x(m)w(n−m)e−jwmX(n,w)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}x(m)w(n-m)e^{-jwm}$
上一篇博客介绍了STFT的可以解释为滤波操作，将 $w$ 固定于某个值 $w_0$ ，
$X(n,w0)=∑m=−∞m=∞[x(m)e−jw0m]w(n−m)=[x(n)e−jwn]∗w(n)=X(w+w0)W(w)X(n,w_{0})=\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}[x(m)e^{-jw_{0}m}]w(n-m) \\=[x(n)e^{-jwn}]*w(n) \\=X(w+w_{0}) W(w)$
先频移再滤波

第二种解释

将 $m^{'} = n - m$ ,代入上式中，
$X(n,w0)=∑m=−∞m=∞[x(m)e−jw0m]w(n−m)=∑m′=−∞m′=∞[x(n−m′)e−jw0(n−m′)]w(m′)=∑m′=−∞m′=∞[x(n−m′)ejw0m′w(m′)]e−jw0n=[[ejw0mw(m)]∗x(m)]e−jw0nX(n,w_{0})=\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}[x(m)e^{-jw_{0}m}]w(n-m) \\=\sum_{m'=-\infty}^{m'=\infty}[x(n-m')e^{-jw_{0}(n-m')}]w(m') \\=\sum_{m'=-\infty}^{m'=\infty}[x(n-m')e^{jw_{0}m'}w(m')] e^{-jw_{0}n} \\=[[e^{jw_{0}m}w(m)]*x(m)]e^{-jw_{0}n}$
可以用下面的图片解释（对应STFT的FBS综合方法）
先滤波再频移

STFT的两种综合方法

filter bank summation (FBS)

当固定频率设为 $w_{k}$ ,根据上面的推导， $X(n,wk)=∑m=−∞m=∞e−jwkn[x(n−m)ejwkmw(m)]X(n,w_{k})=\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}e^{-jw_{k}n}[x(n-m)e^{jw_{k}m}w(m)]$
令 $h_k(n)=w_k(n)e^{jw_kn}$ ,则

$X(n,wk)=e−jwkn∑m=−∞m=∞x(n−m)hk(m)=e−jwknyk(m)X(n,w_{k})=e^{-jw_{k}n}\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}x(n-m)h_k(m) \\=e^{-jw_kn}y_k(m)$
其中 $yk(n)=∑m=−∞m=∞x(n−m)hk(n)y_k(n)=\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}x(n-m)h_k(n)$ ,表示在频率 $w_k$ 处具有冲击响应为 $h_k(n)$ 的系统输出，变换上式，
$y_k(n)=X(n,w_{k})e^{jw_{k}n}$
令 $y(n)=∑k=0k=N−1yk(n)=∑k=0k=N−1X(n,wk)ejwkny(n)=\sum_{k=0}^{k=N-1}y_k(n) \\=\sum_{k=0}^{k=N-1}X(n,w_{k})e^{jw_{k}n}$
上式给出了从STFT的输出 $X(n,w_k)$ 恢复到时域的方法，但需要证明y(n)在什么情况下才和x(n)相等？？？

证明：
由于， $yk(n)=∑m=−∞m=∞x(n−m)hk(n)y_k(n)=\sum_{m=-\infty}^{m=\infty}x(n-m)h_k(n)$
$y(n)=∑k=0k=N−1yk(n)y(n)=\sum_{k=0}^{k=N-1}y_k(n)$
同时做傅里叶变换得，
$\\=X(W)\sum_{k=0}^{k=N-1}H_k(w_k)$
要想使得等式成立，则窗函数需要满足 $∑k=0k=N−1Hk(wk)=C\sum_{k=0}^{k=N-1}H_k(w_k)=C$
而 $H_k$ 是 $h_k$ 的傅里叶变换， $h_k$ 和窗函数w(m)有关，因此只要每一帧STFT用的窗函数一样，且窗长 $L < = N$ ，则等式成立。
FBS分析合成

overlap-add (OLA) method

OLA方法在语言信号处理中经常使用，在每一个时间段对 $X (n, w)$ 做ifft变换，并对重叠段进行相加，可以表示为：
$\sum_{r=-\infty}^{r=\infty}[1/N\sum_{k=0}^{k=N-1}X(rR,w_{k})e^{jw_{k}n}]$

对不同的 $r$ 值进行ifft，可以得到：
$y_{r}(n) = x(n)w(rR-n)$
对不同的 $r$ 相加，
$y(n)=∑r=−∞∞yr(n)=x(n)∑r=−∞r=∞w(rR−n)y(n)=\sum_{r=-\infty}^{\infty}y_{r}(n)=x(n)\sum_{r=-\infty}^{r=\infty}w(rR-n)$
所以只有 $∑r=−∞r=∞w(rR−n)=C\sum_{r=-\infty}^{r=\infty}w(rR-n)=C$ 时，就可以恢复原始信号。

两种方法对比总结

总结就用下图表示。
FBS 和 OLA

参考文献

[1] Loizou P C. Speech Enhancement: Theory and Practice[M]. 2007.
[2] This lecture is based on chapter 7 of [Quatieri, 2002]

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