数字信号处理是音视频开发所必不可少的一项技能，我会从本篇开始，开启一系列入门文章，分享关于数字信号处理方面的知识。这只是一个精简的知识提炼，供大家进行入门，也是对自己的一个备忘和学习笔记。难免会有纰漏，要深入的同学请务必去看一些经典教材。

文章以 * 来表示乘法，以$\otimes 表示卷积$

一、前言

数字信号处理我们日常生活中其实会经常接触到，像音频、视频、机械控制等等。简单来说就是一个信号$x$，通过系统$S$后输出信号$y$，系统$S$需要对信号进行处理，比如滤除噪音、调节频率等等。数字信号处理讲的就是对$x$进行操作的学问。

二、线性时不变（LTI）系统

一般我们说数字信号处理都是基于线性时不变（LTI）系统，那么什么是LTI系统呢？顾名思义
1. 线性： 这个线性其实就是我们所用的线性方程中的那个概念，满足叠加定理，比如$x_1\to y1$是一个映射（也就是我们常说的函数关系）。假设有$x_2=a{x}_1$，经过同样的映射$x_2\to y_2$，那么$y_2=a{y}_1$。

2. 时不变： 这个就更好理解了。同样一个输入信号，任何时候的输出都是一样的。

三、冲激函数

冲激函数是指在0点上有值，而在其他地方均为0的函数。通常使用$\delta$表示。

连续形式：
$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}+\infty & t=0\\ 0& t\ne 0\end{array}$$

上面的式子比较抽象，其实它只有一个定义，就是在负无穷到正无穷的积分是1。

离散形式：
$$\delta [n]=\{\begin{array}{ll}1& n=0\\ 0& n\ne 0\end{array}$$

它们各有一些性质，不过我们马上使用的是一些直观上的数学性质。

需要说明的一点，之后我们推导的很多公式都会以连续信号和离散信号的形式。连续信号我们以$x(t)$表示，离散信号我们以$x[n]$表示

四、阶跃函数

阶跃函数是从0开始到正无穷都为1，从负无穷到0都为0的函数。

连续形式：

$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& t>0\\ 0& t<0\end{array}$$

需要注意的是，阶跃函数在t=0这一点是不连续的。
连续的阶跃函数和冲激函数有这么一层关系，从上面讲的连续冲击函数的定义，就可以得出
$$u(t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$$
因为$\delta (t)$在负无穷到正无穷的积分是1。那么$\delta (t)$就是$u(t)$的一阶微分。但上面也说过$u(t)$在t=0时是不连续的，因此严格来说不是可导的。但如果将$u(t)$认为是在一个很小的间隔$\Delta$内从0上升到1的，那就不难理解了。而这种情况，其实在现实世界中才是真正常见的。

离散形式：
$$u[n]=\{\begin{array}{ll}1& n\ge 0\\ 0& n<0\end{array}$$

显然离散形式要简单多了。同连续形式，我们也可以得出离散的冲击函数和阶跃函数的关系。
$$u[n]=\sum _{m=-\infty }^n\delta [m]$$
$u[n]$是$\delta [n]$的求和
或者
$$\delta [n]=u[n]-u[n-1]$$
$\delta [n]$是$u[n]$的差分。

从以上形式不难看出一个规律，离散的求和对应连续的积分，离散的差分对应连续的微分，这一点将会在记忆一些性质的时候特别有用。后面我们也将会更加深刻地体验到。

五、卷积

5.1 卷积的推导

让我们以离散信号举例，从上面的冲激函数和阶跃函数来推导。
设有一信号
$$x[n]=...+x[-2]+x[-1]+x[0]+x[1]+x[2]+...$$
由于我们是从数学上来推导，因此暂且不要关心信号的序号为什么会有负的。
由冲激函数的定义，我们可以稍稍变形
$$x[i]=x[i]\ast \delta [n-i]$$
因为当且仅当$i=n$时$\delta [n-i]=1$
那么
$$\begin{gathered} x[n]=...+x[-2]\ast \delta [n+2]+x[-1]\ast \delta [n+1]+x[0]\ast \delta [n]+x[1]\ast \delta [n-1]+x[2]\ast \delta [n-2]+... \\ =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\ast \delta [n-k] \end{gathered}$$

设有一LTI系统对冲激信号$\delta [n]$的响应为$h[n]$，称为冲激响应。由我们对LTI系统的定义，它是满足叠加性质的，也就是说，对于系统S，它的输入为$\delta [n]$，输出为$h[n]$，根据LTI的线性性质，就有
$$x[i]\ast \delta [n-i]\to x[i]\ast h[n-i]$$
此处我们把$x[i]$看做了一个系数。
因此可以得出系统S对$x[t]$的输出为
$$\begin{gathered} y[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\ast h[n-k] \\ =x[n]\otimes h[n] \end{gathered}$$
这便是卷积的定义。由此我们也能得出，只要知道了一个系统的冲激响应，那么就可以得出它对任意输入信号的输出。

需要区分$\delta [n]$和$h[n]$的区别，虽然$\delta [n]$是一个冲激信号，只在一个时段有值，但它的响应$h[n]$是一个普通的信号，有可能是任何形式的，但是绝大部分来说，$h[n]$都会持续一段时间。
这就好像有一台马达，你在很短的时间内给它电源，断掉之后它还会持续转一会儿。
类似于这样

当然，也有输入时冲激信号，输出也是冲激信号，就是
$$h[n]=K\delta [n]$$
那么这样的系统我们称之为无记忆系统，当前的输出只和当前的输入有关。但现实世界中我们绝大多数都面对的是有记忆系统，当前的输出和之前的输入以及当前的输入有关。上面马达的例子还有图都是有记忆系统。
说到这个，系统还分为因果系统和非因果系统。因果系统是输出仅和之前以及目前的输入有关，而非因果系统是输出和之前、现在以及将来的输入有关。非因果系统实在太过诡异，以至于我目前还无法理解，也没遇到过。我们说的系统，都是因果系统。

5.2 LTI系统卷积的性质

5.2.1 交换律

$$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\ast h[n-k]=x[n]\otimes h[n]=h[n]\otimes x[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h[k]\ast x[n-k]$$
假设有$$r=n-k$$
那么
$$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\ast h[n-k]=\sum _{r=-\infty }^{+\infty }h[r]\ast x[n-r]=h[n]\otimes x[n]$$

5.2.2 分配律

$$x[n]\otimes (h_1[n]+h_2[n])=x[n]\otimes h_1[n]+x[n]\otimes h_2[n]$$
这个就更简单了，便不单独推导了。

用系统框图表示就是

上下两个系统是等价的

5.2.3 结合律

$$x[n]\otimes h_1[n]\otimes h_2[n]=x[n]\otimes h_2[n]\otimes h_1[n]$$

这个需要从求和公式中推导，这里就不展开了，记住就好。

根据这个式子，有一个很重要的结论。
假设信号$x[n]$先经过冲激响应为$h_1[n]$系统S1，得到输出为$w[n]$，然后$w[n]$经过冲激响应为$h_2[n]$系统S2，得到最终输出$y[n]$。那么它也等效于信号$x[n]$先经过S2再经过S1。如下图。

牢记以上的几条性质，对于系统设计会非常有用。

上面都是以离散信号举例，其实对于连续信号来说，也是一样的，只是把求和换成积分。
$$\begin{gathered} y(n)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(k)\ast h(n-k)dk \\ =x(n)\otimes h(n) \end{gathered}$$
由于我们目前将的都是数字信号处理，因此着重讲离散信号，连续信号都会跟着提一下。

至此，讲完了卷积的由来，下一篇我们讲一下傅里叶变换。