信号与系统复习笔记——信号与系统的时域和频域特性

傅里叶变换的模和相位表示

一般来说，傅里叶变换的结果是复数，所以能够使用模和相位来表示，具体的有：

$$X(j\omega )=|X(j\omega )|e^{j\measuredangle X(j\omega )}$$

其中模使用 $|X(j\omega )|$ 表示，相位使用 $\measuredangle X(j\omega )$ 表示。

对于离散傅里叶变换也同理：

$$X(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\measuredangle X(e^{j\omega })}$$

傅里叶变换的幅值和相位同时影响了时域信号。

线性时不变系统的频率响应的模和相位表示

一个线性时不变系统的响应可以表示为：

$$Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )$$

若从相位和幅值的角度考虑：

$$|Y(j\omega )|=|H(j\omega )||X(j\omega )|$$

$$\measuredangle Y(j\omega )=\measuredangle H(j\omega )+\measuredangle X(j\omega )$$

即响应的幅值等于系统频率函数的幅值乘以输入信号的幅值，响应的辐角等于系统频率函数的辐角加上输入信号的辐角。

因此，我们称 $|H(j\omega )|$ 为系统的 增益 ，而 $\measuredangle H(j\omega )$ 称为系统的 相移 。若系统在其中之一产生了我们不希望有的变化，我们称为幅度或者相位失真。

群时延

对于相移是一个关于 $\omega$ 的线性函数的时候，此时相移在时域上就有一个直观的解释，具体的，当：

$$H(j\omega )=e^{-j\omega t_0}$$

系统的增益为 $|H(j\omega )|=1$ 而相移为 $\measuredangle H(j\omega )=-\omega t_0$ ，我们知道，这样的系统表示一个输出相对于输入的时间延迟：

$$y(t)=x(t-t_0)$$

离散情况下也同理，但必须是整数斜率。当不是一个整数的时候，其时域效果就要更复杂一些。，大致来说，时域相当于是连续情况下相对于包络的序列移动，这可能会改变幅值。

对于非线性的相移函数来说，我们可以考虑其中对于某一小段频率的影响，具体的我们在 $\omega$ 处进行一阶泰勒展开，得到的结果是：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq -\varphi -\omega \alpha$$

这样就有：

$$Y(j\omega )\simeq X(j\omega )|H(j\omega )|e^{-j\varphi }{e}^{-j\omega \alpha }$$

这就说明，对于频率 $\omega$ 来说，先乘以一个恒定的复数因子 $e^{-j\varphi }$ 再乘以一个在 $\omega$ 极小邻域内的公共时延 $e^{-j\omega \alpha }$ 。我们称 $\alpha$ 是频率 $\omega$ 的群时延，定义为：

$$\tau (\omega )=-\frac{d\measuredangle H(j\omega )}{d\omega }$$

伯德图

对于一个线性时不变系统的响应，辐角是相加关系，若也将幅值写成相加关系或许会更加方便，我们可以利用对数的性质，即：

$$\log |Y(j\omega )|=\log |H(j\omega )|+\log |X(j\omega )|$$

一般的对数标尺采用 $20{\log }_{10}$ 为单位，称为分贝dB。

0dB相当于增益为1，20dB相当于10倍增益，-20dB相当于衰减10倍，6dB近似的是2倍增益（一个八度）。

对于连续的时间系统，采用对数的频率坐标系会更加的方便，这是因为，大多数低通的物理系统在几十兆赫兹左右才开始衰减，若采用线性坐标系，则表示衰减不明显。

因此，我们将 $H(j\omega )$ 表示为频率坐标为 ${\log }_{10}$ 单位的，辐角表示为 $\measuredangle H(j\omega )$ ，幅值表示为 $20{\log }_{10}|H(j\omega )|$ 的图像称为 伯德图 。

特别的，物理中大部分信号都是实数信号，那么 $|H(j\omega )|$ 就是 $\omega$ 的偶函数，而 $\measuredangle H(j\omega )$ 就是 $\omega$ 的奇函数。由于这个原理， $-\omega$ 部分可以通过 $+\omega$ 表示出来，因此实信号伯德图通常省略 $-\omega$ 部分。对于辐角，我们通常表示在 $[-\pi ,\pi ]$ 的范围内，称为 主值相位 。

对于实信号的离散的傅里叶变换，由于其是一个 $2\pi$ 的函数，我们只画出其在 $[0,2\pi ]$ 的范围内的图像即可。

理想滤波器的时域特性

一个连续时间的理想低通滤波器的频率响应表示为：

$$H(j\omega )=1,|\omega |\le w_c$$

其中 $w_c$ 称为截止频率。

我们曾经求出，理想低通滤波器对应的单位冲激响应为：

$$h(t)=\frac{sin{w}_{c}t}{\pi t}$$

其图像表示为抽样函数的特征：

我们发现，当 ${\omega }_c$ 越大，其最大值越大，时域范围越窄，当 ${\omega }_c$ 无限大，称为 全通系统 ，其单位冲激响应仍然是单位冲激函数。

对于阶跃响应，我们知道是单位冲激响应的积分：

$$s(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(t)dt$$

其图像为：

我们发现，积分值在区间 $[-\frac{\pi }{{\omega }_c},\frac{\pi }{{\omega }_c}]$ 变化最快，我们称这段区间为 上升时间 反比与滤波器的带宽。

并且，任何的低通滤波器都存在振铃现象（过冲和过放），这是因为带宽不是无穷大带来的影响。

非理想滤波器的时域特性

理想滤波器是一个非因果系统，现实中的滤波器都是非理想滤波器，即在通频带到截止带之间的衰减是渐变过渡，而不是冲激过渡的。

一个非理想滤波器的增益曲线可以描述成：

非理想滤波器的增益曲线由三部分组成， 通带、过渡带和阻带 。

其中，通带的增益有个允许容限，称为 通带纹波 ，阻带的增益有个允许容限，称为 阻带纹波 ，过渡带的两个频率边缘称为 通带边缘 和 阻带边缘 。

而对于非理想滤波器的相位曲线，我们希望其是线性或是近似线性的。

对于非理想滤波器的时域特性，我们通常是描述他的单位阶跃响应，我们希望统计其三个指标，过冲的最大值，称为超量 $\Delta$ ，响应的震荡频率 ${\omega }_r$ 以及最终值处在容许区间所需要的时间，称为建立时间 $t_s$ 。

一阶与二阶连续时间系统

一阶连续时间系统

对于一个一阶连续时间系统，其表示为：

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

易知其频率响应为：

$$H(j\omega )=\frac{1}{j\omega \tau +1}$$

其单位冲激响应为：

$$h(t)=\frac{1}{\tau }{e}^{-t/\tau }u(t)$$

其单位阶跃响应为：

$$s(t)=[1-e^{-t/\tau }]u(t)$$

两个响应都应是关于指数函数的函数，单位冲激响应从 $\frac{1}{\tau }$ 指数衰减为0，单位阶跃响应从0指数增长到1，没有任何震荡。

其中 $\tau$ 称为 时间常数 ，控制着一阶系统的响应的快慢，当 $t=\tau$ 的时候，冲激响应衰减到 $t=0$ 的时候的 $\frac{1}{e}$ 倍，而阶跃响应还差 $\frac{1}{e}$ 到1。时间常数越小，系统的响应时间就越短，系统响应越快。

其增益伯德图为：

$$20\log |H(j\omega )|=-10\log [(\omega \tau {)}^2+1]$$

我们发现，当 $\omega \tau \ll 1$ 则增益等于：

$$20\log |H(j\omega )|\simeq 0$$

当 $\omega \tau \gg 1$ 则增益等于：

$$20\log |H(j\omega )|\simeq -20\log \omega -20\log \tau$$

换句话说，一阶系统的增益伯德图在低频和高频的渐近线都是直线，如图：

低频渐近线是一条0dB线，而高频渐近线是一个每10倍频就有20dB衰减的直线，我们也称为 -20dB/10倍频衰减线 。

注意，两条直线在 $\omega =1/\tau$ 的地方重合，我们称这一点为 转折频率 ，这一点的增益实际值等于：

$$-10\log 2=-3dB$$

称这一点为3dB点，也称为半功率点。

对 $\measuredangle H(j\omega )$ 也可以进行近似：

$$\measuredangle H(j\omega )-\arctan \omega \tau$$

当 $\omega \le 0.1/\tau$ 的时候：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq 0$$

当 $0.1/\tau \le \omega \le 10/\tau$ 的时候：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq -(\pi /4)[\log (\omega \tau )+1]$$

当 $\omega \ge 10/\tau$ 的时候：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq -\pi /2$$

同样由三段直线构成：

而且，在点 $1/\tau$ 的地方，估计值等于真实值等于 $-\frac{1}{4}\pi$ 。

一阶连续时间系统可以看做是一个非理想的低通滤波器，当 $\tau$ 减小，通频带频率变宽，阶跃响应的上升时间缩短。

二阶连续时间系统

二阶连续时间系统表示为：

$$\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+2\zeta {\omega }_n\frac{dy(t)}{dt}+{\omega }_n^{2}y(t)={\omega }_n^{2}x(t)$$

二阶系统的频率响应为：

$$H(j\omega )=\frac{{\omega }_n^2}{(j\omega {)}^2+2\zeta {\omega }_n(j\omega )+{\omega }_n^2}$$

当 $\zeta \ne 1$ 时可以将分式裂项：

$$H(j\omega )=\frac{M}{j\omega -c_1}-\frac{M}{j\omega -c_2}$$

其中：

$$M=\frac{{\omega }_n}{2\sqrt{{\zeta }^2-1}}$$

$$c_1=-\zeta {\omega }_n+{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$

$$c_2=-\zeta {\omega }_n-{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$

则单位冲激响应为：

$$h(t)=M(e^{c_{1}t}-e^{c_{2}t})u(t)$$

若 $\zeta =1$ ，有：

$$H(j\omega )=\frac{{\omega }_n^2}{(j\omega +{\omega }_n{)}^2}$$

此时单位冲激响应为：

$$h(t)={\omega }_n^{2}t{e}^{-{\omega }_{n}t}u(t)$$

参数 $\zeta$ 称为 阻尼系数 而 ${\omega }_n$ 称为 无阻尼的自然频率 。

当 $0<\zeta <1$ 的时候， $c_1$ 和 $c_2$ 都是复数，其单位冲激响应为：

$$h(t)=\frac{{\omega }_n{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}[\sin (t{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})]u(t)$$

此时的冲激响应其实是一个指数衰减的正弦震荡，称这个系统为 欠阻尼 的。当 $\zeta >1$ 则是两个指数函数相减，称为 过阻尼 的，而 $\zeta =1$ 称为 临界阻尼 。

而阶跃响应，当 $\zeta \ne 1$ 的时候：

$$s(t)=[1+M(\frac{e^{c_{1}t}}{c_1}-\frac{e^{c_{2}t}}{c_2})]u(t)$$

当 $\zeta =1$ 的时候：

$$s(t)=[1-e^{-{\omega }_{n}t}-{\omega }_{n}t{e}^{-{\omega }_{n}t}]u(t)$$

欠阻尼系统的阶跃响应不光有超量，还有震荡，但是上升时间最快。临界阻尼没有震荡，也没有超量，上升时间是在没有震荡，也没有超量的情况下的最快时间。过阻尼随着阻尼系数的上升，系统的响应越慢。

对于频率响应的增益：

$$20\log |H(j\omega )|=-10\log [[1-(\frac{\omega }{{\omega }_n}{)}^2{]}^2+4{\zeta }^2(\frac{\omega }{{\omega }_n}{)}^2]$$

导出高频、低频的渐近线为，当 $\omega \ll {\omega }_n$ 的时候：

$$20\log |H(j\omega )|\simeq 0$$

当 $\omega \gg {\omega }_n$ 的时候：

$$20\log |H(j\omega )|\simeq -40\log \omega +40\log {\omega }_n$$

低频渐近线仍然是0dB线，高频线是一个 -40dB/10倍频衰减线 。其中 ${\omega }_n$ 为转折频率：

但是实际曲线在 ${\omega }_n$ 附近处有一个尖峰，当 $\zeta <2\sqrt{2}\simeq 0.707$ 的时候，增益在 ${\omega }_{max}={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$ 的地方有最大值：

$$|H{|}_{max}=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

对于 $\zeta >0.707$ ，增益是一个单调递减函数。

相移响应为：

$$\measuredangle H(j\omega )=-\arctan (\frac{2\zeta (\omega /{\omega }_n)}{1-(\omega /{\omega }_n{)}^2})$$

可近似为，当 $\omega \le 0.1{\omega }_n$ 的时候：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq 0$$

当 $0.1{\omega }_n\le \omega \le 10{\omega }_n$ 的时候：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq -\frac{\pi }{2}[\log (\frac{\omega }{{\omega }_n})+1]$$

当 $\omega \ge 10{\omega }_n$ 的时候：

$$\measuredangle H(j\omega )\simeq -\pi$$

二阶系统的增益尖峰对于某些震荡电路、选频电路是很重要的，我们定义 品质因数 Q来衡量这个尖峰的尖锐程度：

$$Q=\frac{1}{2\zeta }$$

阻尼越小，品质系数越大，尖峰越尖锐。

有理型频率响应的波特图

一阶和二阶系统都能用做是构建有理型LTI系统的基本单元。因为一个有理型的频率响应可以被因式分解成一个恒定增益、一阶系统、二阶系统的乘积（或倒数的乘积）。

所以 有理型频率响应的波特图等于每一项波特图相加 。同理，波特图中渐近线由每一项的渐近线相加得到。

一阶和二阶离散时间系统

一阶离散时间系统

一阶离散时间系统由差分方程描述：

$$y[n]-ay[n-1]=x[n]$$

其中 $|a|<1$ 。该系统的频率响应为：

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

单位脉冲响应为：

$$h[n]=a^{n}u[n]$$

阶跃响应为：

$$s[n]=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$$

这里 $|a|$ 的作用类似于连续时间系统中的时间常数 $\tau$ ，决定了系统的响应速度。值得注意的是，与连续一阶系统不同，离散一阶系统可能存在超量和震荡。

其增益和辐角表示为：

$$|H(e^{j\omega })|=\frac{1}{(1+a^2-2a\cos \omega {)}^{1/2}}$$

$$\measuredangle H(e^{j\omega })=-{\tan }^{-1}[\frac{a\sin \omega }{1-a\cos \omega }]$$

二阶离散时间系统

二阶离散时间系统由下面的差分方程描述：

$$y[n]-2r\cos \theta y[n-1]+r^{2}y[n-2]=x[n]$$

其中 $0<r<1,0\le \theta \le \pi$ 。

频率响应为：

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-2r\cos \theta e^{-j\omega }+r^2{e}^{-j2\omega }}$$