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一、问题定义

输入：

• $n$个活动组成的集合 S = { a 1 , a 2 , . . . , a n } S={\left \{a_1,a_2,...,a_n \right \} } S={a1​,a2​,...,an​}
• 每个活动$a_i$的开始时间$s_i$和结束时间$f_i$

输出：

• 找出活动集合$S$的子集$S^{\prime }$，使得$max|S^{\prime }|$，其中$\forall a_i,a_j\in S^{\prime },s_i\ge f_j$或$s_j\ge f_i$

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二、贪心求解

2.1 提出贪心策略

通过观察问题特征，构造贪心选择，并通过举反例的方式筛选掉得不到最优解的贪心策略。

通过举例可以发现，策略3可以得到最优解：

接下来就是要证明策略3能够保证得到最优解。

2.2 贪心正确性证明

通常可以采用替换法进行证明：

假设存在一个最优方案，不断地等价替换最优方案里的内容（始终保持为最优方案），直至与贪心所得到的结果相同，即可证明贪心解不劣于最优解，也就证明了贪心解可以保证得到最优解。

从前往后依次检查最优解和贪心解，如果活动相同，则无需替换；如果活动不同，则将最优解里的活动替换为贪心解里的活动，此时并不会影响最优解的活动个数。因为在贪心解中优先选择的是先完成的活动，所以替换过去的活动不会晚于原活动结束，替换之后可以为最优解后续的活动提供更大的空间，至少不会影响后续活动，故依然保持最优解。

最终，可以将最优解替换为贪心解，证明了贪心解不劣于最优解，完成证明。

2.3 伪代码

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三、贪心算法总结

3.1 贪心算法的特点

（1）贪心法适用于组合优化问题

（2）求解过程是多步判断过程，最终的判断序列对应于问题的最优解

（3）依据某种“短视的”贪心选择性质判断，在一系列步骤下，每一步有一组选择，作出当前来看最好的选择

（4）贪心法必须进行正确性证明

（5）证明贪心法不正确的技巧：举反例

贪心法的优势：算法简单，时间和空间复杂性低

3.2 适用条件

贪心算法适用条件：

• 贪心选择性：一个最优问题的全局最优解可以通过局部最优选择得到
• 问题具有最优子结构：一个最优问题的最优解包含它的子问题的最优解

3.3 贪心正确性证明思路

贪心算法正确性证明：

1. 证明问题具有贪心选择性（证明最优解中一定包含的第一步，地位相当于数学归纳法的首项）

2. 证明问题具有最优子结构（证明最优解中去掉第一步后剩下的依然是子问题的最优解；通常使用反证法，假设不是最优解，则存在子问题的别的最优解，加上第一步后，比原问题的最优解还要好，与原问题是最优解产生了矛盾）

3. 是用数学归纳法对算法正确性进行证明（利用贪心选择性和最优子结构）

上述已经阐述了正确性的证明方法，以下是另一种表述，与上面本质相同，只是上面的使用数学语言更多，更加严谨。

（1）替换法

假设存在一个最优方案，不断地等价替换最优方案里的内容（始终保持为最优方案），直至与贪心所得到的结果相同，即可证明贪心解不劣于最优解，也就证明了贪心解可以保证得到最优解。

（2）数学归纳法

方法：第一归纳法、第二归纳法

证明步骤：

①叙述一个有关自然数$n$的命题，该命题断定该贪心策略的执行最终将导致最优解。其中自然数$n$可以代表算法步数或者问题规模

②证明命题对所有的自然数为真。归纳基础：从最小实例规模开始；归纳步骤：第一或第二数学归纳法