求两个线段交点

汪汪富贵

6513人浏览 · 2023-07-20 22:06:28

汪汪富贵 · 2023-07-20 22:06:28 发布

一.判断线段相交（跨立实验）

叉乘

若 $\vec{a}$ 表示为 $(x1,y1)$ ， $\vec{b}$ 表示为 $(x2,y2)$ 则：

$\vec{a}\times \vec{b}=(x1*y2-x2*y1,x2*y1-x1*y2)$

二维向量的叉积模：

$|\vec{a}\times \vec{b}|=|x1*y2-x2*y1|=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | \cos \theta$

我们要用的只是由x1∗y2−x2∗y1的正负判断两个向量的位置关系（正表示a由逆时针旋转更容易得到b）

首先我们要明白一个定理：向量a×向量b的模长（×为向量叉乘），若结果小于0，表示向量b在向量a的顺时针方向；若结果大于0，表示向量b在向量a的逆时针方向；若等于0，表示向量a与向量b平行。（顺逆时针是指两向量平移至起点相连，从某个方向旋转到另一个向量小于180度）。如下图：

在上图中，OA×OB = 2 > 0， OB在OA的逆时针方向；OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0，后一个在前一个的逆时针方向；小于零，后一个在前一个的顺时针方向。

那如何来判断两线段是否相交呢？

假设有两条线段AB，CD，若AB，CD相交，我们可以确定：

1.线段AB与CD所在的直线相交，即点A和点B分别在直线CD的两边；

2.线段CD与AB所在的直线相交，即点C和点D分别在直线AB的两边；

上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件，所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边，点C和点D分别在直线AB的两边，这样便可以证明线段AB与CD相交了。

那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢？有，我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图：

在上图中，线段AB与线段CD相交，于是我们可以得到两个向量AC，AD，C和D分别在AB的两边，向量AC在向量AB的逆势针方向，AB×AC > 0；向量AD在向量AB的顺势针方向，AB×AD < 0，两叉乘结果异号。

这样，方法就出来了：如果线段CD的两个端点C和D，与另一条线段的一个端点（A或B，只能是其中一个）连成的向量，与向量AB做叉乘，若结果异号，表示C和D分别在直线AB的两边，若结果同号，则表示CD两点都在AB的一边，则肯定不相交。

当然，不能只证明C，D在直线AB的两边，还要用相同的方法证明A，B在直线CD的两边，两者同时满足才是线段相交的充要条件。

不过，线段相交还有一些特殊情况：

1.只有1点相交，如下图：

上图中，线段AB与CD相交于C点，按照之前介绍的方法，我们可以连成两向量AD和AC，这时候，我们发现，AC与AB共线，AB×AC = 0；而AB×AD < 0；两者并不异号，可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中，有一方为0，也可以看成点CD在直线AB的两边。

2.两条线段重合，如下图：

在上图中，线段AB与线段CD重合，重合部分为CB，这种重合的情况要特殊判断：

首先，我们给没条线段的两个端点排序，大小判断方法如下：横坐标大的点更大，横坐标相同，纵坐标大的点更大。

排好序后，每条线段中，小的点当起点，大的当终点。我们计算向量AB×向量CD，若结果为0，表示线段AB平行CD，平行才有了重合的可能；但平行也分共线和不共线，只有共线才有可能重合，看下图：

上图中，第一种情况不共线，第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢？

我们可以在两条线段中各取一点，用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘，结果若为0，就表示两线段共线，如下图：

我们取向量BC，若BC×CD = 0，表示两点共线，即是第二种情况，否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线？因为他们没有相交。。。（尬）

然然然然然而，即使他们共线，却还是不一定重合，就如上图中第二种情况。这时候，之前给点排序的妙处就体现出来了：

若一条线段AB与另一条线段CD共线，且线段AB的起点小于等于线段CD的起点，但线段AB的终点（注意是终点）大于等于线段CD的起点（注意是起点），或者交换一下顺序，CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个，就表示有重合部分。

二.求交点

可以通过线段的跨立实验判断线段是否相交，但是想要进一步求它们的交点还是比较麻烦。

完整推导：:https://www.cnblogs.com/huntto/p/17492406.html

直接贴过来：

下面的代码就是用这个公式实现的

三.求线段交点的C++ 代码

  /** A general line-line intersection test
     @param A   the startpoint for the first line L1 = (A - B)
     @param B   the endpoint for the first line L1 = (A - B)
     @param C   the startpoint for the second line L2 = (C - D)
     @param D   the endpoint for the second line L2 = (C - D)
     @param S   the range for a hitpoint in L1 (p = A + S*(B - A))
     @param T   the range for a hitpoint in L2 (p = C + T*(D - C))
     @return    whether these two lines intersects.

     Note that to truly test intersection for segments we have to make
     sure that S & T lie within [0..1] and for rays, make sure S & T > 0
     the hit point is        C + T * (D - C);
     the hit point also is   A + S * (B - A);
     @since 3.0
     * @js NA
     * @lua NA
     */
    static bool isLineIntersect(const Vec2& A, const Vec2& B,
                                 const Vec2& C, const Vec2& D,
                                 float *S = nullptr, float *T = nullptr);


bool Vec2::isLineIntersect(const Vec2& A, const Vec2& B,
                            const Vec2& C, const Vec2& D,
                            float *S, float *T)
{
    // FAIL: Line undefined
    if ( (A.x==B.x && A.y==B.y) || (C.x==D.x && C.y==D.y) )
    {
        return false;
    }
    
    const float denom = crossProduct2Vector(A, B, C, D);
    
    if (denom == 0)
    {
        // Lines parallel or overlap
        return false;
    }
    
    if (S != nullptr) *S = crossProduct2Vector(C, D, C, A) / denom;
    if (T != nullptr) *T = crossProduct2Vector(A, B, C, A) / denom;
    
    return true;
}