0 霍特林模型

在Hotelling模型中，产品在物质性能上是相同的，但在空间位置上有差异。因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本，他们关心的是价格与运输成本之和，而不单是价格。

1 情形1 商店位于两个端点

• 假定有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布在[0,1]区间，分布密度为1。

• 假定在这个城市中有两个商店，分别位于城市的两端，商店1在$x=0$​​，商店2在$x=1$​​，出售物质性能相同的产品。

• 假定每个商店提供单位产品的成本为$c$​，消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成比例，单位距离的成本为$t$​。（这意味着住在$x$​的消费者如果在商店1采购，要花费$tx$​的旅行成本；如果在商店2采购，要花费$t(1-x)$​​​的旅行成本）

• 假定消费者只愿意购买一个商品，这个商品会给他们带来$U$​的效用，而为了购买这个商品消费者将会付出走到商店的旅行成本+购买产品的成本，因此最终效用可以表示为$U-旅行成本-商品价格$​​​

• 假定$U$​​足够使得$U-旅行成本-商品价格>0$​，从而每个消费者都有意愿去​​购买一个单位的商品。

令$p_i$​​​​为商店$i$​​​​的价格，$D_i(p_1,p_2)$​​​​为需求函数，$i=1,2$​​​​。如果住在$x$​​​​的消费者在两个商店之间是无差异的（即他不介意在任何一家商店购买产品，在两个商店购买商品的最终效用相等）。那么，所有住在$x$​​​​左边的将都在商店1购买，而住在$x$​​​​右边的将在商店2购买，需求分别为$D_1={\int }_0^{x}1dx=x$​​​​,$D_2={\int }_x^{1}1dx=1-x$​​​​​。(这里被积函数为1是因为假定1即分布密度为1)

此时，$x$​​​​​​应满足
$$p_1+tx=p_2+t(1-x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
解得
$$\begin{gathered} D_1(p_1,p_2)=x=\frac{1}{2}+\frac{p_2-p_1}{2t} \\ {D}_2(p_1,p_2)=1-x=\frac{1}{2}+\frac{p_1-p_2}{2t}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
理解：若两商店的产品价格相同（即$p_2=p_1=p$​​​​）那么无差别消费者的位置为两商店的中间位置，此时无论是去商店1购买还是去商店2购买总成本都等于$p+\frac{t}{2}$​​​​，因此两商店平分市场份额。​​若$p_2>p1$那么无差别消费者的位置将会向右移动，这是因为消费者2涨价后，若无消费者还是停留在涨价前的位置，那么此时显然消费者去商店1消费商品的最终效用更大。为了平衡商店2涨价后的影响，涨价前无差别消费者的位置将会右移，同理$p_1>p_2$。$t$在这里作为移动距离的比例因子存在。

商店1的利润函数为：
$$\begin{gathered} {\pi }_1(p_1,p_2)=(p_1-c)D_1(p_1,p_2) \\ =\frac{1}{2}(p_1-c)+\frac{1}{2t}(p_1-c)(p_2-p_1)\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
商店2的利润函数为：
$$\begin{gathered} {\pi }_2(p_1,p_2)=(p_2-c)D_2(p_1,p_2) \\ =\frac{1}{2}(p_2-c)+\frac{1}{2t}(p_2-c)(p_1-p_2)\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
商店$i$选择自己的价格$p_i$最大化利润${\pi }_i$，给定$p_j$，两个一阶条件分别是
$$\begin{gathered} \frac{\partial {\pi }_1}{\partial p_1}=0-->p_2+c+t-2p_1=0 \\ \frac{\partial {\pi }_2}{\partial p_2}=0-->p_1+c+t-2p_2=0\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$
解得
$$p_1^{\ast }=p_2^{\ast }=c+t\text{\hspace{1em}(6)}$$
每个商店的均衡利润为：
$${\pi }_1^{\ast }={\pi }_2^{\ast }=\frac{t}{2}\text{\hspace{1em}(7)}$$
将消费者的位置差异解释为产品差异，这个差异进一步可解释为消费者购买产品的旅行成本。旅行成本越高，产品的差异就越大，均衡价格就越大从而均衡利润也就越高。原因在于，随着旅行成本的上升，不同商店出售的产品之间的替代性下降，每个商店对附近的消费者的垄断力加强，商店之间的竞争越来越弱，消费者对价格的敏感度下降，从而每个商店的最优价格更接近于垄断价格。另一方面，当旅行成本为零时（$t=0$​​），不同商店的产品之间具有完全的替代性，没有任何一个商店可以把价格定得高于成本，我们得到伯川德均衡结果。

2 情形2 两个商店位于同一个位置

假定两个商店位于同一个位置$x$​。此时，他们出售的是同质的产品，消费者关心的只是价格，那么伯川德均衡是唯一的均衡：
$$p_1=p_2=c,{\pi }_1={\pi }_2=0\text{\hspace{1em}(8)}$$

3 情形3 两个商店位于不同位置

• 假定商店1位于$a\ge 0$​​，商店2位于$1-b$​​（$b\ge 0$​​）。

• 假定$1-a-b\ge 0$​​（即商店1位于商店2的左边）。
  

• 假定旅行成本为二次式，即旅行成本为$t{d}^2$​​​，$d$​​​​​表示消费者到商店的距离。

同情形1假定无差别消费者的位置为$x$，显然$a\le x\le 1-a-b$​即无差别消费者位于两个商店之间。此时无差别消费者去商店1和去商店2购买1单位商品的最终效用相同，因此我们可以得到如下等式：
$$p_1+t(x-a{)}^2=p_2+t(1-b-x{)}^2\text{\hspace{1em}(9)}$$
解得无差别消费者的位置为：
$$x=a+\frac{1-a-b}{2}+\frac{p_2-p_1}{2t(1-a-b)}\text{\hspace{1em}(10)}$$
显然无差别消费者左侧的市场份额全属于商店1，无差别消费者右侧的市场份额全属于商店2，因此我们得到两商店的需求函数如下：
$$\begin{gathered} D_1(p_1,p_2)=x=a+\frac{1-a-b}{2}+\frac{p_2-p_1}{2t(1-a-b)} \\ {D}_2(p_1,p_2)=1-x=b+\frac{1-a-b}{2}+\frac{p_1-p_2}{2t(1-a-b)}\text{\hspace{1em}(11)} \end{gathered}$$

理解：如果两个商店的商品价格一样即$p_2=p_1$，那么无差别消费者仍然位于两商店的中间位置（注意：此时无差别消费者的位置并不一定位于线性城市的中间位置），在两商店中间位置的基础上根据价格和旅行成本进行调整。

根据商店的利润函数（3）（4）及其一阶条件（5）求得纳什均衡为：
$$\begin{gathered} p_1^{\ast }(a,b)=c+t(1-a-b)(1+\frac{a-b}{3}) \\ {p}_2^{\ast }(a,b)=c+t(1-a-b)(1+\frac{b-a}{3})\text{\hspace{1em}(12)} \end{gathered}$$
当$a=b=0$​时，商店1位于0，商店2位于1此时回到情形1：
$$p_1^{\ast }(0,1)=p_2^{\ast }(0,1)=c+t\text{\hspace{1em}(13)}$$
当$a=1-b$​时，两个商店位于同一位置，此时回到情形2：
$$p_1^{\ast }(a,1-a)=p_2^{\ast }(a,1-a)=c\text{\hspace{1em}(14)}$$