关系概念

a. 集合非空，且他的元素都是有序对；b. 空集

满足上述其一，就称该集合为一个二元关系，记 $R$；若 $<x,y>\in R$，则记 $xRy$

集合 $A$ 有 $n$ 个元素，则 $A$ 上有 $2^{n^2}$ 个关系

空关系：空集

全域关系：$E_A=A\times A$

恒等关系：IA={<x,x>∣x∈A}I_{A} = \{<x,x>|x\in A\}IA​={<x,x>∣x∈A}

关系表示

关系表示：集合表达式、关系矩阵、关系图

如：R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}R = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\}R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

关系的运算

设 $R$ 是二元关系

$R$ 中所有有序对的第一元素构成的集合，称作 $R$ 的定义域，记 $domR$

$R$ 中所有有序对的第二元素构成的集合，称作 $R$ 的值域，记 $ranR$

$R$ 的定义域和值域的并集，称作 $R$ 的域，记 $fldR$

$R$ 中的第一元素和第二元素对调，称作 $R$ 的逆，记 $R^{-1}$

$R_1$ 与 $R_2$ 的复合，记 $R_1◦R_2$ ；$R$ 与自己的复合，记 $R^2$

关系的性质

关系的闭包

自反闭包，记 $r(R)$；对称闭包，记 $s(R)$；传递闭包，记 $t(R)$

在原来的关系上，补有序对，使其构成自反（对称、传递）性质

如：R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}R = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\}R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

r(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}r(R) = \{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\}r(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

s(R)={<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}s(R) = \{<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\}s(R)={<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

t(R)={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>}t(R) = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>\}t(R)={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>}

等价关系与划分

如果集合 $A$ 上的关系 $R$ 是自反的、对称的、传递的，则称 $R$ 是 $A$ 上的等价关系

$A$ 中的元素 $a$ 的等价类就是在 $A$ 中等价于 $a$ 的所有元素形成的子集，记 $[x{]}_R$

以 $R$ 的所有等价类作为元素构成的集合称为 $A$ 关于 $R$ 的商集合，记 $A/R$

$P(A)$ 的子集 $\pi$ 是 $A$ 的划分，则要满足以下条件

1. $\pi$ 的元素都不是空集
2. $\pi$ 的元素的并集等于 $A$
3. $\pi$ 的任何两个元素的交集为空

偏序关系

如果集合 $A$ 的关系 $R$ 是自反的、反对称的、传递的，则称 $R$ 是 $A$ 上的偏序关系，记 $⪯$

集合 $A$ 和他的 $⪯$ 构成的集合，称作偏序集，记 $<A,⪯>$

哈斯图：偏序集中的有序对的第二元素在第一元素上方，第一元素和第二元素且中间没有跨层则连线

极大（小）元：哈斯图中上（下）面没有节点的节点。如果只有唯一极大（小）元，则称为最大（小）

孤立点即是极大元也是极小元

如：A={1,2,3,4,6,8,12,24}A = \{1,2,3,4,6,8,12,24\}A={1,2,3,4,6,8,12,24} 关于乘除关系的哈斯图