数值分析笔记（一）
误差分析：（1）误差分析相关概念（2）误差限四则运算（3）函数误差限（4）误差分析原则
| 概念 | 释义 | 性质 |
|---|---|---|
| 绝对误差 | 设 x x x为精确值， x ∗ x^* x∗为 x x x的一个近似值，则称 e ∗ = x ∗ − x e^* = x^*-x e∗=x∗−x为近似值的绝对误差，简称误差 | 当绝对误差为正时，又叫做强近似值；当绝对误差为负时，又叫做弱近似值 |
| 绝对误差限 | 若绝对误差 e ∗ e^* e∗的绝对值不超过某正数 ε ∗ \varepsilon^* ε∗，则称 ε ∗ \varepsilon^* ε∗为近似值的绝对误差限，简称误差限 | 总是正数，且现实中相较绝对误差更加常用 |
| 相对误差 | 设 x x x为精确值，若 e ∗ = x ∗ − x e^* = x^*-x e∗=x∗−x为近似值 x ∗ x^* x∗的绝对误差，则称 e r ∗ = e ∗ x e_r^* = \frac{e^*}{x} er∗=xe∗为近似值 x ∗ x^* x∗的相对误差 | 在实际计算中，由于真值 x x x总是不知道的，因此相对误差通常取 e r ∗ = e ∗ x ∗ e_r^* = \frac{e^*}{x^*} er∗=x∗e∗ |
| 相对误差限 | 设 x x x为精确值，若 ε ∗ \varepsilon^* ε∗为近似值 x ∗ x^* x∗的绝对误差限，则称 ε r ∗ = ε ∗ a b s ( x ∗ ) \varepsilon_r^* = \frac{\varepsilon^*}{abs(x^*)} εr∗=abs(x∗)ε∗为近似值 x ∗ x^* x∗的相对误差限 | 总是正数，且现实中相较相对误差更加常用 |
| 有效数字 | 若近似值 x ∗ x^* x∗的误差限是某位的半个单位，则该位到 x ∗ x^* x∗的第一位非零数字的位数n，称 x ∗ x^* x∗有n位有效数字 | n位有效数字的标准形式： x ∗ = ( a 1 + a 2 × 1 0 − 1 + . . . + a n × 1 0 − ( n − 1 ) ) × + ‾ 1 0 m x^* = (a_1+a_2\times 10^{-1}+...+a_n\times 10^{-(n-1)})\times\underline + 10^m x∗=(a1+a2×10−1+...+an×10−(n−1))×+10m； 故其绝对误差限可表示为： ε ∗ = 1 2 × 1 0 ( m − n + 1 ) ε^* = \frac{1}{2} \times 10^{(m-n+1)} ε∗=21×10(m−n+1)； 故其相对误差限可表示为： ε r ∗ = 1 2 a 1 × 1 0 − ( n − 1 ) ε_r^* = \frac{1}{2a_1} \times 10^{-(n-1)} εr∗=2a11×10−(n−1) |
=> 近似值 x ∗ x^* x∗的非零位个数不一定等于有效数字位数；
=> 对于四舍五入的近似值，它们的误差均不超过末位数字的半个单位，从 x ∗ x^* x∗的第一位非零数字到末位都是有效数字；
=> 有效位数越多，绝对误差限越小，相对误差限亦越小；
-
二、误差限四则运算：
ε ( x 1 ∗ + ‾ x 2 ∗ ) = ε ( x 1 ∗ ) + ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_1^* \underline + x_2^*) = \varepsilon(x_1^*)+\varepsilon(x_2^*) ε(x1∗+x2∗)=ε(x1∗)+ε(x2∗)
ε ( x 1 ∗ × x 2 ∗ ) ≈ ∣ x 1 ∗ ∣ ε ( x 2 ∗ ) + ∣ x 2 ∗ ∣ ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^* \times x_2^*) \approx |x_1^*|\varepsilon(x_2^*)+|x_2^*|\varepsilon(x_1^*) ε(x1∗×x2∗)≈∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗)
ε ( x 1 ∗ x 2 ∗ ) ≈ 1 ∣ x 2 ∗ ∣ 2 ( ∣ x 1 ∗ ∣ ε ( x 2 ∗ ) + ∣ x 2 ∗ ∣ ε ( x 1 ∗ ) ) \varepsilon(\frac{x_1^*}{x_2^*}) \approx \frac{1}{|x_2^*|^2}( |x_1^*|\varepsilon(x_2^*)+|x_2^*|\varepsilon(x_1^*)) ε(x2∗x1∗)≈∣x2∗∣21(∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗))
-
三、函数误差限：
一元函数 f ( x ) f(x) f(x)误差限： ε ( f ( x ∗ ) ) = ∣ f ′ ( x ∗ ) ∣ ε ( x ∗ ) \varepsilon (f(x^*)) = |f'(x*)|ε(x^*) ε(f(x∗))=∣f′(x∗)∣ε(x∗)
多元函数误差限： ε ( f ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , . . . , x n ∗ ) ) = ∑ ∣ δ f δ x i ∗ ∣ ε ( x i ∗ ) ε(f(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)) = \sum|\frac{\delta f}{\delta x_i^*}|ε(x_i^*) ε(f(x1∗,x2∗,...,xn∗))=∑∣δxi∗δf∣ε(xi∗)
有“AI”的1024 = 2048，欢迎大家加入2048 AI社区
更多推荐
6
0- 0
已为社区贡献3条内容
所有评论(0)