代数重数与几何重数（对于单个特征值而言）

代数重数：相同特征值的个数。
几何重数：特征子空间的维数为几何重数，因为空间是几何里的概念，$rank(\lambda I-A)=n-\alpha$中的$\alpha$值，几何重数 ≤ 代数重数。
在几何重数 = 代数重数时，A可以变换为对角阵，但两者不相同时，A只可以变换为约当阵，这里就需要使用广义特征向量。

广义特征向量计算

$rank(\lambda I-A)=n-\alpha$，代数重数为$k$，则对于$\lambda$这个特征值有$\alpha$个线性不相关的向量，就有$\alpha$个约当小块，通过这$\alpha$个向量来构建其余的$k-\alpha$个向量，设为$X_1、X_2、...、X_{\alpha }$。将需要构建的$k-\alpha$个向量分成$\alpha$组，每组基于一个$X_i$构建。
例如$rank(\lambda I-A)=10-2$，代数重数$k=5$，则可将5分为2组，可以为$S_1=3，S_2=2$。
公式：
$$\begin{gathered} V_{S_1-1}=-(\lambda I-A)V_{S_1} \\ {V}_{S_1-2}=-(\lambda I-A)V_{S_1-1} \\ {V}_1=(-1{)}^{S_1-1}(\lambda I-A{)}^{S_1-1}{V}_3=X_1 \\ ............. \end{gathered}$$

我们先求出$S_1$组对应的三个列向量，$S_1$组以$X_1$为基向量，构建$V_3，V_2，V_1$，根据
$$(-1{)}^{S_1-1}(\lambda I-A{)}^{S_1-1}{V}_3=X_1$$得到最大下标的$V_3$（最高下标的$V_3$和最低下标的$V_1$才与$X_1$有直接关系），然后根据$$V_2=-(\lambda I-A)V_3$$$$V_1=-(\lambda I-A)V_2=X_1$$
得到$V_2$、$V_1$，同理得到$S_2$组下的两个列向量$W_2$、$W_1$，则Q=[$V_1$ $V_2$ $V_3$ $W_1$ $W_2$ ] 。
证明与例题详见广义特征向量的构造

简易方法求广义特征向量

公式：

$$\begin{gathered} {\lambda }_1{P}_1-A{P}_1=0 \\ {\lambda }_1{P}_2-A{P}_2=P_1 \\ {\lambda }_1{P}_3-A{P}_3=P_2 \\ ......... \end{gathered}$$
Q=[$P_1$ $P_2$ $P_3$ $P_4$ $P_5$ $P_6$]