线性时变系统状态方程的解

鲁鹏
北京理工大学，宇航学院
2019.10.11

随着学习的深入，线性定常系统（状态方程一般形式为 $\dot{\mathbf{x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$）已经无法满足我的需求了。线性时变系统（状态方程一般形式为 $\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$）更具一般性。非线性时变系统也可以通过泰勒展开简化为线性时变系统[1]。本文将总结线性时变系统的状态方程的解，主要参考了东北大学课件[2]。

线性时变系统齐次状态方程的解

系统描述：
$$\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

初始时刻为$t_0$，$a_{ij}(t)$分段连续

微分方程（1）解为
$$\begin{array}{c}\mathbf{x}(t)=[I+{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau +{\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_1){\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_2)d{\tau }_{2}d{\tau }_1+\\ {\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_1){\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_2){\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_3)d{\tau }_{3}d{\tau }_{2}d{\tau }_1+\cdots ]\mathbf{x}(t_0)\end{array}$$

特殊情况：
$$\begin{gathered} A(t)\left[{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau \right]=\left[{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau \right]A(t) \\ ⟺\mathbf{x}(t)=\exp \left[{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )d\tau \right]\mathbf{x}(t_0) \end{gathered}$$

线性时变系统的状态转移矩阵

对于连续线性时变系统
$$\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)+B(t)\mathbf{u}(t)\text{\hspace{1em}(2)}$$

初始时刻为$t_0$，$a_{ij}(t)$，$b_{ij}(t)$分段连续。

系统的状态转移矩阵是如下矩阵微分方程和初始条件的$n\times n$阶解矩阵$\Phi (t,t_0)$，如果如下初值问题（Initial Value Problem， IVP）无法解析求解可以使用数值积分求解
$$\dot{\Phi }(t,t_0)=A(t)\Phi (t,t_0),\Phi (t_0,t_0)=I_n\text{\hspace{1em}(3)}$$

线性时变系统非齐次状态方程的解

设连续线性时变系统(2)的解为[3]
$$\mathbf{x}(t)=\Phi (t,t_0)\mathbf{c}(t)\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中$\mathbf{c}(t)$为待定量，类比高等数学中的常数易变法（A method of constant variation）理解。
$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{x}}(t)=& \dot{\Phi }(t,t_0)\mathbf{c}(t)+\Phi (t,t_0)\dot{\mathbf{c}}(t)\\ =& A(t)\Phi (t,t_0)\mathbf{c}(t)+\Phi (t,t_0)\dot{\mathbf{c}}(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

将等式（2）带入等式（5）可得
$$A(t)\Phi (t,t_0)\mathbf{c}(t)+\Phi (t,t_0)\dot{\mathbf{c}}(t)=A(t)\Phi (t,t_0)\mathbf{c}(t)+B(t)\mathbf{u}(t)\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$\dot{\mathbf{c}}(t)={\Phi }^{-1}(t,t_0)B(t)\mathbf{u}(t)\text{\hspace{1em}(7)}$$

等式（7）两端积分得：
$$\mathbf{c}(t)-\mathbf{c}(t_0)={\int }_{t_0}^t{\Phi }^{-1}(\tau ,t_0)B(\tau )\mathbf{u}(\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(8)}$$

由等式（4）可知$t=t_0$时有$\mathbf{c}(t_0)=\mathbf{x}(t_0)$，所以
$$\mathbf{c}(t)=\mathbf{x}(t_0)+{\int }_{t_0}^t{\Phi }^{-1}(\tau ,t_0)B(\tau )\mathbf{u}(\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(9)}$$

$$\begin{array}{rl}\mathbf{x}(t)=& \Phi (t,t_0)\mathbf{c}(t)\\ =& \cdots \\ =& \Phi (t,t_0)\mathbf{x}(t_0)+{\int }_{t_0}^t\Phi (t,\tau )B(\tau )\mathbf{u}(\tau )d\tau \end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

类比上述推导过程，非线性时变系统$\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)+B(t)\mathbf{u}(t)+\mathbf{z}(t)$的解很好得到。

参考文献

[1] Szmuk M , Acikmese B . 2018 AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference[C]. Successive Convexification for 6-DoF Mars Rocket Powered Landing with Free-Final-Time.

[2] 第三章 状态方程的解ppt（东北大学）

[3] 麻省理工学院公开课：微分方程