该基础知识笔记来源于空间谱估计理论与算法（王永亮…等）。

波程差

两个阵元间的波程差为：
$$\tau =\frac{1}{c}(x\cos \theta \cos \phi +y\sin \theta \cos \phi +z\sin \phi ),$$ 其中$c$为光速。

1. 平面阵

设阵元的位置为$(x_k,y_k),k=1,...,M$,以原点为参考点，另假设信号入射参数为$({\theta }_i,{\phi }_i),i=1,...,N$，分别为方位角(azimuth angle)和俯仰角(zenith angle)，其中方位角表示与$x$轴的夹角，则有：
$${\tau }_{ki}=\frac{1}{c}(x_k\cos {\theta }_i\cos {\phi }_i+y_k\sin {\theta }_i\cos {\phi }_i).$$

2. 线阵

设阵元的位置为$x_k,k=1,...,M$,以原点为参考点，另假设信号入射参数为${\theta }_i,i=1,...,N$，表示为方位角(azimuth angle)，其中方位角表示与$y$轴的夹角(即与线阵防线的夹角)，则有：
$${\tau }_{ki}=\frac{1}{c}(x_k\sin {\theta }_i).$$

空间频率

表示成空间频率（Spatial Frequency）为：

$$\begin{gathered} {\bar{\Phi }}_X\triangleq \sin ({\varphi }_R(\mathbf{q}))\cos ({\eta }_R(\mathbf{q}))=\frac{q_x}{||\bar{\mathbf{q}}||}, \\ {\bar{\Phi }}_Y\triangleq \sin ({\varphi }_R(\mathbf{q}))\sin ({\eta }_R(\mathbf{q}))=\frac{q_y}{||\bar{\mathbf{q}}||}, \end{gathered}$$其中以IRS的坐标$\bar{\mathbf{q}}=[p_x,p_y,p_z{]}^T$为参考点。

阵列方向图

阵列输出的绝对值与来波方向/到达角(AOA)之间的关系称为天线的方向图（Pattern）。
方向图一般分成两类：1）阵列输出的累加（不考虑信号及来向），即静态方向图；2）带指向的方向图（考虑信号指向），其中信号的指向是通过控制加权相位实现。
对于某一确定的 元空 间阵列，在忽略噪声的条件下，第$l$个阵元的复振幅为:
$$x_l=g_0{e}^{-ȷw{\tau }_l},l=1,...,m,$$
式中$g_0$为来波的复振幅，${\tau }_l$为第$l$个阵元与参考点之间的延迟。设第$l$个阵元的权值为$w_l$,那么所有阵元加权的输出为：
$$Y_0=\sum _{l=1}^m{w}_l{g}_0{e}^{-ȷw{\tau }_l},l=1,...,m(2.4.2)$$
对上式取绝对值并归一化后可得到空间阵列的方向图$G(\theta )$为
G(θ)=Y0max⁡{∣Y0∣},(2.4.3)G(\theta) = \frac{Y_0}{\max\{|Y_0|\}}, \qquad (2.4.3)G(θ)=max{∣Y0​∣}Y0​​,(2.4.3) 如果式中$w_l = 1,l=1,2…,m, $$，则上式为静态方向图$G_0(\theta)$。
线面我们将针对阵列的类型分开讨论。

1. 均匀线阵（Uniform Linear Array）

假设均匀线阵的问距为$d$，且以最左边的阵元为参考点（原点），另假设信号入射方位角为$\theta$，其中方位角表示与线阵法线方向的夹角，则阵元之间的波程差

$$\tau =\frac{1}{c}(x_k\sin \theta )=\frac{1}{c}(l-1)(d\sin \theta )(2.4.4)$$
则式（2.4.2）可简化成：$$Y_0=\sum _{l=1}^m{w}_l{g}_0{e}^{-ȷw{\tau }_l}=\sum _{l=1}^m{w}_l{g}_0{e}^{-ȷ\frac{2\pi }{\lambda }(l-1)d\sin \theta }=\sum _{l=1}^m{w}_l{g}_0{e}^{-ȷ(l-1)\beta }$$ 其中$\beta =\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$，$\lambda$为入射信号的波长。
当上式$w_l=1,l=1,2,...,m$时，可进一步简化为
$$Y_0=m{g}_0{e}^{ȷ(m-l)\beta /2}\frac{\sin (m\beta /2)}{m\sin (\beta /2)}(2.4.5)$$
由上式可得ULA的静态方向图：
$$G_0(\theta )=\left|\frac{\sin (m\beta /2)}{m\sin (\beta /2)}\right|$$
当式（2.4.5）中的$w_l=e^{ȷ(l-1){\beta }_d}$, ${\beta }_d=\frac{2\pi d\sin {\theta }_d}{\lambda },l=1,...,m$时，可简化为：
$$Y_0=m{g}_0{e}^{ȷ\frac{(m-1)(\beta -{\beta }_d)}{2}}\frac{\sin [m(\beta -{\beta }_d)/2]}{m\sin [(\beta -{\beta }_d)/2]}.$$

如下，图2.4.1（a）为静态方向图，图2.4.1（b）为指向为$30^o$的方向图，另外加了旁瓣电平为$-30\mathrm{d}\mathrm{B}$的切比雪夫权。

2. 平面阵列（Uniform Plane Array）

假定这个平面阵是矩阵阵列，维度为$m\times n$个阵元组成，几何关系如下图。
定义：以左上角的阵元为参考点，$x$轴上有$n$个间隔$d$的均匀线阵，$\theta$和$\phi$分别为方位角和俯仰角。

• 当竖面放置阵列（图a），信号入射到第$k$个阵元上引起的与参考阵元间的时延为：
  $$\tau =\frac{1}{c}(x_k\cos \theta \cos \phi +y_k\sin \theta \cos \phi )$$

• 当竖面放置阵列（图b）和$y=0$，信号入射到第$k$个阵元上引起的与参考阵元间的时延为：
  $$\tau =\frac{1}{c}(x_k\cos \theta \cos \phi +z_k\sin \phi )$$

• 因此，当$w_i=1,g_0=1$时，水平面放置的平面阵的方向图：
  $$\begin{array}{ll}G(\theta )& ={\sum }_{i=1}^m{e}^{-ȷ\frac{2\pi }{\lambda }(x_i\cos \theta \cos \phi +y_i\sin \theta \cos \phi )}\\ & ={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{k=1}^n{e}^{-ȷ\frac{2\pi d}{\lambda }((i-1)\cos \theta \cos \phi +(k-1)\sin \theta \cos \phi )}\\ & ={\sum }_{i=1}^m{e}^{-ȷ\frac{2\pi d}{\lambda }((i-1)\cos \theta \cos \phi )}{\sum }_{k=1}^n{e}^{-ȷ\frac{2\pi d}{\lambda }((k-1)\sin \theta \cos \phi )}\\ & =G_{row}(\theta )G_{col}(\theta )\end{array}$$
  即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行与$x$方向）方向图$G_{row}(\theta )$与合成列子阵（平行于$y$方向）方向图$G_{col}(\theta )$的乘积。

• 因此，当$w_i=1,g_0=1$时，竖面放置的平面阵的方向图：
  $$\begin{array}{ll}G(\theta )& ={\sum }_{i=1}^m{e}^{-ȷ\frac{2\pi }{\lambda }(x_i\cos \theta \cos \phi +z_i\sin \phi )}\\ & ={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{k=1}^n{e}^{-ȷ\frac{2\pi d}{\lambda }((i-1)\cos \theta \cos \phi +(k-1)\sin \phi )}\\ & ={\sum }_{i=1}^m{e}^{-ȷ\frac{2\pi d}{\lambda }((i-1)\cos \theta \cos \phi )}{\sum }_{k=1}^n{e}^{-ȷ\frac{2\pi d}{\lambda }((k-1)\sin \phi )}\\ & =G_{row}(\theta )G_{col}(\theta )\end{array}$$ 即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行与$x$方向）方向图$G_{row}(\theta )$与合成列子阵（平行于$z$方向）方向图$G_{col}(\theta )$的乘积。