3.1引言

时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的和，根据冲激响应与激励信号的卷积计算系统对信号的响应；频域中，将信号分解为一系列正弦信号的和，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应

3.3信号表示为傅里叶级数(FS)

三角傅里叶级数

1. 本质

将任意信号在正交函数集（三角函数是最常用的正交函数集）中展开，即表示成该正交集函数的线性组合

展开式1

展开式2

展开条件-狄利克雷条件

本质： 等式左右两边的函数的差的方均误差趋于零
条件：
在一个周期内，函数绝对可积
在一个周期内，函数的极值数有限
在一个周期内，函数连续或有有限个间断点

分量概念

直流分量

基波分量

n次谐波分量

补充

指数傅里叶级数

使用条件

当方波占空比比较小，而且不具有奇偶性时，宜用指数形式

形式1（按连续信号的正交分解定义展开）

形式2（由三角函数形式的傅里叶级数推导）

各展开式的联系

注意事项

arctan计算时，要考虑an和bn的象限，一四象限不变，第二象限+π，第三象限-π

函数的奇偶性质与谐波含量的关系

1.奇偶函数

奇函数的傅里叶级数中只有正弦分量
偶函数的傅里叶级数中只有直流和余弦分量

2. 奇谐函数

定义

性质： 奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量

3. 偶谐函数

定义

性质： 偶谐函数的傅里叶级数只有直流和偶次谐波分量

3.4周期性信号的频谱

频谱组成：振幅频谱+ 相位频谱

只有复数幅度An点为实数时，才可将两张频谱合二为一

频谱形式

单边频谱

定义：按照三角傅里叶级数做出的频谱，只有n大于等于0的一边
注意：特别注意n=0点上的幅度，若认为幅度谱表示的是各个频率上的信号分量的幅度大小，则该点应该标为A0/2;若认为幅度谱表示的是An随频率的变化规律，则该点标为A0，一般采用后者。

双边频谱

定义：按照指数傅里叶级数做出的频谱
特点：由公式可知，幅度为单边谱的一半，且零点幅度就是直流分量的大小

周期性信号的频谱特点

离散性
谐波性：只在基波频率的整数倍点上有值
收敛性：当谐波次数无限次高时，谐波分量的幅度趋于无穷小

周期矩形脉冲信号的频谱

n次谐波幅度

频谱图

结论

1.ab对比（T周期增加，τ脉宽不变）

频谱包络不变，收敛性不变；
谱线幅度降低，密度加大
当T趋于无穷时，信号成为非周期信号，信号分量出现在所有频率上，变成连续谱

2.ac对比（T不变，τ减小）

Sa函数尺度变大，收敛性变差
谱线密度不变
信号能量向高频扩散，信号频宽增加

信号的频宽

定义

从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的频率范围

定义方法

信号幅度的1/10为限
振幅频谱中的第一个过零点为限
包含信号总能量的90%处为限

结论

一切周期信号的脉宽与频宽成反比变化
信号的边缘变化越快，频宽越宽

3.5 傅里叶变换(FT)与非周期信号频谱

非周期信号频谱

由周期信号频谱—>非周期信号频谱

非周期信号可以看作周期信号在T趋于无穷大时的极限；当T无限增大时，频率间隔趋于dω，离散谱变为连续谱

频谱密度函数（频谱函数）

1.定义

2.意义

模量代表各频率分量的相对大小
相角代表有关频率分量的相位
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有频率中，每一频率分量包含的能量为无穷小量

3.性质

若f(t)是实信号，那么频谱函数的模是频率的偶函数；相角是频率的奇函数

傅里叶变换

存在条件： 与傅里叶级数条件相同，都是狄利克雷，只不过考虑时间区间变为负无穷到正无穷
正反傅里叶变换对：

3.6常用信号频谱函数

公式

注意点

阶跃和直流信号不满足绝对可积条件，通过引入冲激函数，也可以找到其傅里叶变换的表达式，我们称之为广义傅里叶变换