FFT是DFT的一种快读计算方式，本质上的计算逻辑是一样的，所以下面使用DFT来讨论公式，应用于FFT是一样的

公式

DFT与IDFT

DFT公式

X k = ∑ n = 0 N − 1 e − i 2 π N k n x n , k ∈ { 0 , 1 , . . . N − 1 } X_k = \sum_{n=0}^{N-1}e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}x_n , k\in \{0,1,... N-1\} Xk​=n=0∑N−1​e−iN2π​knxn​,k∈{0,1,...N−1}

iDFT公式

公式：
x n = 1 N ∑ k = 0 N − 1 e i 2 π N k n X k , k ∈ { 0 , 1 , . . . N − 1 } x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{i\frac{2\pi}{N}kn}X_k, k\in \{0,1,... N-1\} xn​=N1​k=0∑N−1​eiN2π​knXk​,k∈{0,1,...N−1}

那是否可以直接DFT来计算iDFT呢？
答案是可以的

DFT计算iDFT

$$IFFT(X)=\frac{1}{N}conj(FFT(conj(X)))$$

公式推导

由DFT公式开始推到

(1) 由e的幂来看，共轭操作就是将 幂 取负值 （不理解的可以复习一下欧拉公式）
$$DFT(x)=\sum _{n=0}^{N}conj(e^{i\frac{2\pi }{N}kn})x_n(1)$$

(2) 将x替换为conj(x)
$$DFT(conj(x))=\sum _{n=0}^{N}conj(e^{i\frac{2\pi }{N}kn})conj(x_n)(2)$$

这里介绍一下共轭运算的两个公式
$$\begin{gathered} conj(a)conj(b)=conj(ab) \\ conj(a)+conj(b)=conj(a+b) \end{gathered}$$

(2) 套用上述公式，
$$DFT(conj(x))=conj(\sum _{n=0}^N{e}^{i\frac{2\pi }{N}kn}{x}_n)(3)$$

(3) 右边部分其实就是N倍的IDFT，N可以从共轭运算中提出来
$$DFT(conj(x))=Nconj(IDFT(X))(4)$$

(4) 两边都再取一次共轭
$$\frac{1}{N}conj(DFT(conj(x)))=IDFT(X)(4)$$

所以FFT一样有这样的结论
$$IFFT(X)=\frac{1}{N}conj(FFT(conj(X)))$$

参考文档：

1. Discrete Fourier Transform离散傅里叶变换算法
2. How to Compute the IFFT using only the forward FFT