误差的合成与分配

1、函数系统误差计算

$$y=f(x_1,x_2,...,x_n)$$其中$x_1,x_2,...,x_n$为各个直接测量值；$y$为间接测量值
函数系统误差$△y$为$$△y=\frac{\partial f}{\partial x_1}△x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}△x_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}△x_n,i=1,2,...,n$$

2、函数随机误差计算

$${\sigma }_y^2={(\frac{\partial f}{\partial x_1})}^2{\sigma }_{x_1}^2+{(\frac{\partial f}{\partial x_2})}^2{\sigma }_{x_2}^2+...{(\frac{\partial f}{\partial x_n})}^2{\sigma }_{x_n}^2+2\sum _{1\le i<j}^n(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}{K}_{ij})$$其中$K_{ij}=\frac{{\sum }_{m=1}^N{\delta }_{x_{im}}{\delta }_{x_{jm}}}{N}$。当N适当大时，$K_{ij}=0$，则$${\sigma }_y^2={(\frac{\partial f}{\partial x_1})}^2{\sigma }_{x_1}^2+{(\frac{\partial f}{\partial x_2})}^2{\sigma }_{x_2}^2+...+{(\frac{\partial f}{\partial x_n})}^2{\sigma }_{x_n}^2$$$${\sigma }_y=\sqrt{{(\frac{\partial f}{\partial x_1})}^2{\sigma }_{x_1}^2+{(\frac{\partial f}{\partial x_2})}^2{\sigma }_{x_2}^2+...+{(\frac{\partial f}{\partial x_n})}^2{\sigma }_{x_n}^2}$$同理，极限误差$${\delta }_{limy}=\sqrt{{(\frac{\partial f}{\partial x_1})}^2{\delta }_{lim{x}_1}^2+{(\frac{\partial f}{\partial x_2})}^2{\delta }_{lim{x}_2}^2+...+{(\frac{\partial f}{\partial x_n})}^2{\delta }_{lim{x}_n}^2}$$

3、误差间的相关关系和相关系数

定义相关系数$$\rho =\frac{K_{\xi \eta }}{{\sigma }_{\xi }{\sigma }_{\eta }}$$其中$K_{\xi \eta }$为误差$\xi$和$\eta$之间的协方差；${\sigma }_{\xi },{\sigma }_{\eta }$分别为误差$\xi$和$\eta$的标准差（-1$\le \rho \le$+1)

• 0<$\rho$<1时，$\xi$与$\eta$正相关，即一误差增大，零一误差取值平均的增大
• -1<$\rho$<0时，$\xi$与$\eta$负相关
• $\rho =\pm 1$时，完全正/负相关，此时$\xi$与$\eta$之间存在着确定的线性函数关系
• $\rho$=0，两误差间无线性关系或称不相关

4、随机误差的合成

（1）标准差的合成

$$\sigma =\sqrt{\sum _{i=1}^q(a_i{\sigma }_i{)}^2+2\sum _{1\le i<j}^q{\rho }_{ij}{a}_i{a}_j{\sigma }_i{\sigma }_j}$$其中$a_i$为误差传递系数

（2）极限误差的合成

一般的极限误差合成公式$$\delta =\pm t\sqrt{\sum _{i=1}^q(\frac{a_i{\delta }_i}{t_i}{)}^2+2\sum _{1\le i<j}^q{\rho }_{ij}{a}_i{a}_j\frac{{\delta }_i}{t_i}\frac{{\delta }_j}{t_j}}$$
若各个单项随机误差均服从正态分布，则$$\delta =\pm \sqrt{\sum _{i=1}^q(\frac{a_i{\delta }_i}{t_i}{)}^2+2\sum _{1\le i<j}^q{\rho }_{ij}{a}_i{a}_j\frac{{\delta }_i}{t_i}\frac{{\delta }_j}{t_j}}$$

5、系统误差的合成

（1）已定系统误差的合成

$$△=\sum _{i=1}^r{a}_i{△}_i$$其中该测量过程共$r$个单项一定系差，${△}_i$为误差值，$a_i$为相应的误差传递函数

（2）未定系统误差的合成

标准差的合成
若测量过程中有$s$个单项未定系统误差，其标准差为$u_i$，其相应的误差传递函数为$a_i$，则合成后未定系差的总标准差为$$u=\sqrt{\sum _{i=1}^q(a_i{u}_i{)}^2+2\sum _{1\le i<j}^q{\rho }_{ij}{a}_i{a}_j{u}_i{u}_j}$$若${\rho }_{ij}=0$时，则$$u=\sqrt{\sum _{i=1}^q(a_i{u}_i{)}^2}$$若
极限误差的合成
单项未定系差的极限误差为$$e_i=\pm t_i{u}_i,i=1,2,...,s$$总的未定系差的极限误差为$$e=\pm tu$$则可得$$e=\pm t\sqrt{\sum _{i=1}^q(a_i{u}_i{)}^2+2\sum _{1\le i<j}^q{\rho }_{ij}{a}_i{a}_j{u}_i{u}_j}$$当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且${\rho }_{ij}=0$时$$e=\pm \sqrt{\sum _{i=1}^s(a_i{e}_i{)}^2}$$

6、系统误差与随机误差的合成

（1）按极限误差合成

若测量过程中有$r$个单项已定系差，$s$个单项未定系差，$q$个单项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为$${△}_1,{△}_2,...,{△}_r$$$$e_1,e_2,...,e_s$$$${\delta }_1,{\delta }_2,...,{\delta }_q$$设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为$${△}_{总}=\sum _{i=1}^r{△}_i\pm t\sqrt{\sum _{i=1}^s(\frac{e_i}{t_i}{)}^2+\sum _{i=1}^q(\frac{{\delta }_i}{t_i}{)}^2+R}$$其中$R$为各个误差间协方差之和
已定系差修正后$${△}_{总}=\sqrt{\sum _{i=1}^s{e_i}^2+\sum _{i=1}^q{{\delta }_i}^2}（单次测量）$$$${△}_{总}=\sqrt{\sum _{i=1}^s{e_i}^2+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^q{{\delta }_i}^2}（多次重复测量）$$

（2）按标准差合成

若测量过程中有$s$个单项未定系差，$q$个单项随机误差，其标准差为$$u_1,u_2,...,u_s$$$${\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_q$$设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为$$\sigma =\sqrt{\sum _{i=1}^s{u}_i^2+\sum _{i=1}^q{\sigma }_i^2+R}$$其中，$R$为各个误差间协方差之和。各个误差间互不相关时$$\sigma =\sqrt{\sum _{i=1}^s{u}_i^2+\sum _{i=1}^q{\sigma }_i^2}（单次测量）$$$$\sigma =\sqrt{\sum _{i=1}^s{u}_i^2+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^q{\sigma }_i^2}（多次重复测量）$$

7、微小误差的取舍准则

对于随机误差和未定系差，微小误差舍入准则：被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准的1/3~1/10

• 1/3：一般精度测量
• 1/10：较精密的测量