视频讲解等价无穷小的精度问题

前言

在求极限的时候，我们有一大利器等价无穷小替换。
但是在替换的时候如果使用不当，会产生精度不够的问题，从而导致我们的计算错误。
那么为什么会产生精度不够的问题，等价无穷小的本质是什么，这就是本文要来探讨的问题。

前置知识

• 多项式逼近
• 泰勒展开

参考阅读：泰勒公式系列之一，多项式逼近

本文所用符号说明

大O表示同阶无穷小
注：数学辞海给出的解释是大O即可表示同阶或高阶无穷小，详情见附录
小o表示高阶无穷小

如对于$x^2+2x^3+x^4$，用大O表示则表示为$O(x^2)$，即与$x^2$为同阶无穷小；小o表示为$o(x)$，表示是$x$的高阶无穷小。

对于$e^x$在$x=0$处的泰勒展开可表示为以下两种形式：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o\left(x^2\right)$$
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+O\left(x^3\right)$$

先来看两个例题

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^{\sin x}-1\right)}{x^3}\stackrel{\text{等价无穷小}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^3}{x^3}=\frac{1}{6}$$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin \left(e^x-1\right)}{x^2}\stackrel{\text{等价无穷小}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^x-1\right)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^x}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-e^x}{2}=-\frac{1}{2}$$

求这两个极限的过程第一步的等价无穷小正确吗？
我们先用其他方法来算一下这两个极限，就用大家熟悉的洛必达法则好了
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^{\sin x}-1\right)}{x^3}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^{\sin x}\cdot \cos x}{3x^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-e^{\sin x}\cdot {\cos }^{2}x+e^{\sin x}\cdot \sin x}{6x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin x}\cdot \left(\sin x-{\cos }^{2}x\right)}{6x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-{\cos }^{2}x}{6x}\\ & =\infty \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin \left(e^x-1\right)}{x^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(e^x-1\right)\cdot e^x}{2x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(e^x-1\right)\cdot e^{2x}-\cos \left(e^x-1\right)\cdot e^x}{2}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$$

可以看到我们第一个极限用等价无穷小算的是错误的，第二个是正确的。
第二个等价无穷小代换没有问题，为什么第二个可以而第一个不可以，这就是本文我们要探究的。

等价无穷小的本质

我们来看两个等价无穷小

1

$$e^x-1\sim x$$
我们来看一下$e^x$在$x=0$处的泰勒展开
$$e^x=1+x+O\left(x^2\right)$$
移项
$$e^x-1=x+O\left(x^2\right)$$
把它和等价无穷小比较，我们发现其实等价无穷小只是一种“粗略”的近似，它把高阶无穷小忽略了。

2

$$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$
来看一下$sinx$在$x=0$处的泰勒展开
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+O\left(x^5\right)$$
移项
$$x-\sin x=\frac{x^3}{3!}+O\left(x^5\right)$$
把它和等价无穷小比较，这其实也是一个“粗略”的近似。

结论

等价无穷小本质是一种“粗略”的近似，忽略了更高阶的项，所以才会产生精度不够的问题。

回过头来看那两道例题

我们再回过来头来求那两个极限题，为什么一个精度不够，一个精度够。

1

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^{\sin x}-1\right)}{x^3}$$
由于
$$e^{\sin x}=1+\sin x+\frac{{\sin }^{2}x}{2!}+O\left({\sin }^{3}x\right)=1+\sin x+\frac{{\sin }^{2}x}{2!}+O\left(x^3\right)$$
所以
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^{\sin x}-1\right)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x-\frac{{\sin }^{2}x}{2!}+O\left(x^3\right)}{x^3}$$
我们发现了什么？我们前面做等价无穷小的时候将$\frac{{\sin }^{2}x}{2!}$丢弃了，所以我们才会产生精度不够的问题
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x-\frac{{\sin }^{2}x}{2!}+O\left(x^3\right)}{x^3}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(x+O\left(x^3\right)\right)-\frac{{\left(x+O\left(x^3\right)\right)}^2}{2}+O\left(x^3\right)}{x^3}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{x^2}{2}+O\left(x^3\right)}{x^3}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}+O\left(x\right)}{x}\\ & =\infty \end{array}$$

2

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin \left(e^x-1\right)}{x^2}$$
由于
$$\sin \left(e^x-1\right)=\left(e^x-1\right)+O\left({\left(e^x-1\right)}^3\right)=\left(e^x-1\right)+O\left(x^3\right)$$
所以
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin \left(e^x-1\right)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^x-1\right)+O\left(x^3\right)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\left(e^x-1\right)}{x^2}=-\frac{1}{2}$$
与原来等价无穷小进行比较，我们发现我们丢弃了$O(x^3)$，但是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{O\left(x^3\right)}{x^2}=0$$
所以我们可以将高阶项可以进行丢弃，并不会影响结果，这就是为什么第二个例子可以用等价无穷小，因为精度够了。

总结

在乘除的时候，进行等价无穷小代换的时候并不需要考虑太多。
但是在加减的时候，容易出现加减以后低阶项消去了，这时候就要用到高阶项，而等价无穷小只是一种“粗略”的近似，这就可能会产生精度问题。
对于加减，建议使用泰勒展开去做，这样就能清晰的看出精度是否足够。
虽然有些老师可能会总结一些结论，比如减法的时候极限比值为1的时候不能换，但是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{e^{\sin x}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin \left(e^x-1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{e^x-1}=1$$
这两个比值均为1，一个能换一个确不能换。
所以大家学数学的时候不能只记结论，要知其所以然。

附录

数学辞海对于大O和小o符号的解释