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一、问题定义

1.1 流网络

给定有向图$G=<V,E,C>$，其被称为流网络：

• 容量：$\forall e\in E,c(e)\ge 0$
• 流量：$\forall e\in E,0\le f(e)\le c(e)$
• 剩余容量：$\forall e\in E,c(e)-f(e)$
• 总流量：$|f|={\sum }_{\text{e out of s}}f(e)={\sum }_{\text{e in to t}}f(e)$ （总流量 = 源点流出量 = 汇点流入量）

1.2 最大流问题

输入：

​ ①有向图$G=<V,E,C>$，其中，$c(e)\in C$表示边$e$的容量

​ ②源点$s$，汇点$t$

输出：

​ 总流量$|f|$

​ 约束目标：$max|f|=max{\sum }_{\text{e out of s}}f(e)$
​ 约束条件：
​ \quad ①容量限制：$0\le f(e)\le c(e)$ （边上的流量不能超过容量）
​ \quad ②流量守恒：${\sum }_{\text{e in to v}}f(e)={\sum }_{\text{e out of v}}f(e)$ （每个顶点进入和流出的流量和相等）

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二、算法策略

2.1 算法引入

直观想法：

①对$\forall e\in E$，初始化流量为$f(e)=0$

②寻找一条源点$s$到汇点$t$的路径$P$，此路径上的每条边$e$均满足$f(e)<c(e)$

③按路径$P$上最小剩余容量增加路径流量

④迭代寻找路径$P$直至无法增加路径流量

例如，在下述所给流网络$G$中，选择红线路径作为路径$P$，并增加了11的流量：

如此迭代寻找$P$，便可以得到解。

但是，显然该方法并不可以得到最优解，例如，当该流网络为如下状态时，

我们发现，按照直观策略，该网络不能再增加流量。但是如果我们稍作调整，

如此，我们便成功将网络的流量增加了1。

我们不妨观察一下，我们做了什么样的改动：我们将流量进行了重新分配，缩减了某些边$(v_2,v_3)$的流量，并将其重新分配到别的边$(v_2,v_4)$上，实际上，上述变动可以看作我们沿着下图中红色路径走了1个流量：

也就相当于，我们引入了一条返向边$(v_3,v_2)$，并发现，如果我们寻找路径时允许反向搜索，则可以增大总流量。

一旦引入了反向边，就需要考虑反向边的权重问题，如何定义正向边及反向边的权重以保证流量调整合理呢？做出以下规定：

反向边权重：描述可缩减流量的上限，即原始边上的流量$f(e)$

正向边权重：描述可扩充流量的上限，即原始边上的剩余容量$c(e)-f(e)$

如此，由一条原始边可以生成两条正向、反向边，实现反向搜索，以此来帮助我们更好地寻找到使得总流量增加的路径$P$。

2.2 一些概念

接下来介绍几个概念，并按照上述思路，介绍Ford-Fulkerson算法。

2.2.1 残存网络

对于给定流网络$G=<V,E,C>$和流量$f$，可以得到残存网络$G_f=<V,E_f>$，其中$\forall c_f(e)\in E_f$，其残存容量为：
$$c_f(e)=\{\begin{array}{cc}c(e)-f(e)& e为正向边\\ f(e)& e为反向边\end{array}$$
残存网络中存储的是容量信息（可扩充及可缩减上限），可以帮助我们快速地发现增广路径（包含返向边的路径）。

例如：

2.2.2 增广路径

给定流网络$G=<V,E,C>$和流量$f$，增广路径$p$是残存网络$G_f$中一条从源点$s$到汇点$t$的简单路径（路径上顶点不重复）。

例如：

如果在残存网络中存在增广路径，则说明存在流量的进一步调整方式。

2.2.3 增广路径的残存容量

增广路径的残存容量指的是一条增广路径$p$上各边残存容量的最小值，即$c_f§=\min\left { c_f(e)|e\in p \right } $

增广路径的残存容量实际上就是沿着该路径流量扩充的最大值。

2.3 Ford-Fulkerson算法

接下来只需要对我们的只管策略做一些改动，便可以得到Ford-Fulkerson算法：

①对$\forall e\in E$，初始化流量为$f(e)=0$

②构造残存网络$G_f$，寻找源点$s$到汇点$t$的增广路径$p$

③按增广路径$p$的残存容量增加路径流量

④迭代寻找路径$p$直至无法增加路径流量

接下来以一个实例来展示该算法：

①流网络$G$初始化，构造残存网络$G_f$：

②在残存网络$G_f$中找到一条增广路径，并按照其容量更新流网络$G$：

③更新残存网络$G_f$：

④重复②③：

⑤不能找出增广路径$p$，算法结束：

2.4 算法分析

该算法的伪代码如下：

复杂度分析：

• 初始化阶段：$O(E)$

• 寻找增广路径：残存网络最多有$2E$条边，且$O(V)\le O(E)$，使用DFS，可以在$O(V+2E)=O(E)$的时间内找到增广路径

• 找增广路径残存容量：$O(E)$

• 更新流：$O(E)$

每次循环后，流的值至少会增加1，所以循环最多执行$|f^{\ast }|$次，算法的时间复杂度为$O(E|f\ast |)$

实际上，该算法的运行时间主要受限于增广过程，对于同一个流网络$G$，不同增广路径的选择，会对结果产生巨大的影响，例如：

每次循环后，流的值至少会增加1，所以循环最多执行$|f^{\ast }|$次，算法的时间复杂度为$O(E|f\ast |)$