本章内容：

1. 判断两个变量间是否有相关关系，且关系强度如何？
2. 如何建立一元线性回归模型，且模型效果如何？
3. 如何利用回归方程进行预测？
4. 为什么要进行残差分析，及如何进行分析？

索引
📌 专业名词
🔑 公式记忆
📖 摘抄
☑️ 有序事项

11.1 变量间是否有相关关系，且关系强度如何？

11.1.2 相关关系的描述与测量

📌 相关关系：变量之间存在的不确定的数量关系，称为相关关系。

---

📖 相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述与度量，要解决的问题如下：

1. 变量之间是否存在关系？
2. 如果存在关系，它们之间是什么关系？
3. 变量之间的关系强度如何？
4. 样本反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？

进行相关分析时，对总体主要有以下两个假定：

1. 两个变量都是线性关系
2. 两个变量都是随机变量

---

📖 如何判断变量之间的相关形态？

1. 散点图——用于判断是否存在关系、什么关系

2. 相关系数——用于判断关系强度如何？

---

🔑 相关关系计算公式
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为$\rho$； 若是根据样本数据计算的，称为样本相关系数，记为$r$，计算公式如下：

$$r=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{n\sum x^2-(\sum x{)}^2}\cdot \sqrt{n\sum y^2-(\sum y{)}^2}}$$

上式计算得出的相关系数也称为线性相关系数，或皮尔逊（Pearson）相关系数。

Excel中，计算两组数据的相关系数，公式为：CORREL(array1,array2)
【工具】-【数据分析】

---

📖 相关系数的性质：

1. 取值范围是[-1,1]。 如果$0<r\le 1$，表明x与y之间存在正线性相关关系； 如果$-1\le r<0$，表明x与y之间存在负线性相关关系； 如果$r=1$,表明x与y之间存在完全正线性相关关系； 如果$r=-1$,表明x与y之间存在完全负线性相关关系； 如果$r=1$,表明x与y之间不存在相关关系；
2. 对称性，即$r_{xy}=r_{yx}$。
3. r的数值大小与x和y的原点及尺度无关。改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变数值大小。
4. r仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，不能用于描述非线性关系。即$r=0$只能表示变量之间不存在线性相关关系，不说明变量之间没有任何相关关系。
5. r不意味着x与y一定有因果关系。

---

🔑 r的大小与相关程度划分

当$|r|\ge 0.8$时，可视为高度相关；
当$0.5\le |r|<0.8$时，可视为中度相关；
当$0.3\le |r|<0.5$时，可视为低度相关；
当$|r|<0.3$时，可视为相关性极弱，可视为不相关；

但这种解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上！

---

11.1.3 相关关系的显著性检验

📖 为什么要进行显著性检验？
因为总体相关系数$\rho$通常未知，一般使用样本相关系数$r$来代替总体相关系数，但是样本相关系数受到抽样数据的影响，所以需要对样本相关系数说明总体的相关程度，即进行显著性检验

---

📖 r的抽样分布
样本相关系数r的显著性与r的抽样分布相关；r的抽样分布随着总体相关系数和样本量的大小而变化。

当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r的抽样分布趋于正态分布。
当总体相关系数接近0时，r趋于正态分布的趋势非常明显；反之r的抽样分布呈现一定的偏态。
当$\rho$为较大的正值时，$r$呈现左偏分布；
当$\rho$为较大的负值时，r呈现右偏分布。 只有当$\rho$接近于0，而样本量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量。

---

☑️ r的显著性检验

1. 提出假设

$$H_0:\rho =0;H_1:\rho \ne 0$$

2. 计算检验的统计量：t统计量 $$t=|r|\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\sim t(n-1)$$ 其自由度为：$n-2$

3. 进行决策 根据给定的显著性水平$\alpha$和自由度，计算$t_{\alpha /2}$。 若$|t|>t_{\alpha /2}$，则拒绝原假设$H_0$，表明总体的两个变量之间存在显著的线性关系。

---

11.2 如何建立一元线性回归模型，且进行模型检验？

📖 相关分析的目的在于考察变量之间的关系强度；
回归分析的目的在于考察变量之间的数量关系，并通过一定的数学表达式将这种关系描述出来，进而确定一个或几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。

回归分析解决的问题：

1. 从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的；
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值，并给出这种估计或预测的可靠程度。（这部分内容实际放在11.3章来讲解）

---

11.2.1 一元线性回归

📌 常见专业名词解释
因变量
被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示。

自变量
用来预测或解释因变量的一个或多个变量称为自变量，用x表示。

一元回归
当回归中只涉及一个自变量时，称为一元回归。

一元线性回归
若因变量x和自变量y之间为线性关系，称为一元线性回归。

---

📖 本章所讨论的回归方法对于自变量是预先固定的、自变量是随机的情况都使用；
因为固定自变量的情况比较容易描述，因此下面主要讲述固定自变量的回归问题。

📌 回归模型

对于具有线性关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系。 描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项$\epsilon$的方程，称为回归模型。

---

📌 理论回归模型
对于只涉及一个自变量的一元线性回归模型可表示为：

$$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+\epsilon$$

其中${\beta }_0+{\beta }_{1}x$反映了由于x的变化，引起y的线性变化；$\epsilon$是误差项的随机变量，反映了线性关系之外的随机因素对y的影响。${\beta }_0、{\beta }_1$称为模型的参数。

---

📖 理论回归模型的假定

①因变量y与自变量x之间具有线性关系；

②在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的；

③误差项$\epsilon$是一个期望值为0的随机变量，即$E(\epsilon )=0$；

④对于所有的x值，$\epsilon$的方差${\sigma }^2$都相同；因为误差与x、y都无关。

⑤误差项$\epsilon$是一个服从正态分布的随机变量，且独立，即$\epsilon \sim N(0,{\sigma }^2)$。
E(y)的值随着x的不同而变化，但无论x怎么变化，$\epsilon$和y的概率分布都是正态分布，并且具有相同的方差。

---

📌 回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程，称为回归方程。
一元线性回归方程也称为直线回归方程，公式如下：

$$E(y)={\beta }_0+{\beta }_{1}x$$

${\beta }_0$为截距，${\beta }_1$为斜率。

---

📌 估计的回归方程
由于总体是未知的，所以采用样本统计量$\widehat{{\beta }_0}$、$\widehat{{\beta }_1}$代替回归方程中的未知参数${\beta }_0$、${\beta }_1$，得到估计的回归方程。

一元线性回归下，估计的回归方程为：

$$\hat{y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_{1}x$$

---

11.2.2 参数的最小二乘估计

📖 最小二乘法是确定直线代表最强代表性的方法。

因为描述x,y的n对观测值的直线，有多条，所以需要找到一种方法，来确定最佳代表两个变量之间关系的直线。

---

📌 最小二乘法
代表两个变量之间关系的标准之一：该直线距离各个观测点的距离最近。
通过使用因变量的观测值$y_i$，和估计值${\hat{y}}_i$之间的离差平方和来估计参数${\beta }_0$、${\beta }_1$的方法，称为最小二乘法，也称为最小平方法。

---

📖 优势如下：

①根据最小二乘法得到的回归直线能使离差平方和达到最小，虽然这并不能保证它就是拟合数据的最佳直线，但这毕竟是一条与数据拟合良好的直线应有的性质；

②由最小二乘法求得的回归直线可知β0和β1的估计量的抽样分布；

③在某些条件下β0和β1的最小二乘估计量同其他估计量相比，其抽样分布具有较小的标准差。

---

🔑 求解$\widehat{{\beta }_0}$、$\widehat{{\beta }_1}$

构建最小二乘法公式：

$$\sum {(y_i-{\hat{y}}_i)}^2=\sum (y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_i{)}^2$$

根据最小二乘法原理，要求得上式最小值。根据微积分的极限定理，令$Q=\sum {(y_i-{\hat{y}}_i)}^2$，即对Q求相应于$\widehat{{\beta }_0}$、$\widehat{{\beta }_1}$的偏导数，并令其等于0。 \ 求解$\widehat{{\beta }_0}$、$\widehat{{\beta }_1}$公式：

$$\{\begin{array}{rl}\frac{\partial Q}{\partial {\beta }_0}{|}_{{\beta }_0=\hat{\beta }0}& =-2\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{\beta }}_0-\hat{\beta }1x_i{)}^2=0\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_1}{|}_{{\beta }_1=\hat{\beta }1}& =-2\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_i{)}^2=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{rl}\hat{\beta }1& =\frac{n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n{y}_i}{n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2}\\ {\hat{\beta }}_0& =\bar{y}-{\hat{\beta }}_1\bar{x}\end{array}$$

excel中，求解一元线性回归方程的方式为：

【工具】-【回归】

11.2.3 回归直线的拟合优度

📌 拟合优度 回归直线与各观测点的接近程度称为回归直线对数据的拟合优度。 各观测点越是紧密围绕直线，说明一元线性回归模型对观测数据的拟合程度越好。

---

🔑 判定系数-$R^2$
判定系数是对估计的回归方程拟合优度的度量，其公式如下：

$$R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{\sum {({\hat{y}}_i-{\bar{y}}_i)}^2}{\sum {(y_i-{\bar{y}}_i)}^2}$$

判定系数就是：回归平方和/总平方和；判定系数越接近1，说明回归直线的拟合效果越好；反之。

判定系数的实际意义：在y取值的变动中，有$R^2$（这是个百分比）的部分可以由x与y之间的线性关系来解释；即y中有$R^2$是由x决定的。

---

📌 估计标准误差
度量各个实际观测点在直线周围的散布状况的一个统计量，用来说明实际观测值与回归估计值之间的差异程度。

---

🔑 估计标准误差的公式为：

$$s_e=\sqrt{\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n-2}}=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}=\sqrt{MSE}$$

可以看做在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量。 反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的大小。

和判定系数$R^2$的差异：
判定系数是百分比，不是实际的数值，$1-R^2$在一定程度上也衡量了差异程度，但是不是具体的差异值；
估计标准误差是具体的差异值。

---

11.2.4 显著性检验

📖 回归分析中的显著性检验包括2部分：

线性关系的检验_F统计量
回归系数的检验_t统计量

---

☑️ 线性关系检验 _F统计量
检验自变量x和因变量y之间的线性关系是否显著，即它们之间能否使用一元线性回归模型来表示。

1. 构造统计量
   $$F=\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}=\frac{MSR}{MSE}\sim F(1,n-2)$$
   即：
   $$F=\frac{回归平方和/自由度：k(自变量的个数)}{残差平方和/自由度：n-k-1}=\frac{均方回归}{均方残差}\sim F(1,n-2)$$

2. 提出假设：$H_0:{\beta }_1=0$，两个变量之间的线性关系不显著，即没有线性关系。

3. 计算统计量F

4. 做出决策
   若$F>F_{\alpha }$，拒绝原假设，两个变量之间有线性关系；
   若$F<F_{\alpha }$，接受原假设，两个变量之间有线性关系。

---

☑️ 回归系数检验 _t统计量
检验自变量对因变量的影响是否显著，也是检查两个变量之间有没有线性关系的。
如果${\beta }_1=0$，那么两个变量之间没有线性关系；
如果${\beta }_1\ne 0$，那么两个变量之间有线性关系。

为什么不能直接计算${\beta }_1$来判断两个变量的线性关系呢？
因为总体的数据量是未知的，所以不能计算${\beta }_1$，只能通过样本量得到${\hat{\beta }}_1$；通过${\hat{\beta }}_1$的统计量检验，才能判断总体${\beta }_1$的情况。

1. 构建统计量t
   $$t=\frac{\hat{\beta }1-{\beta }_1}{s{\hat{\beta }}_1}\sim t(n-2)$$
   自由度为：n-2
   其中$s_{{\hat{\beta }}_1}$计算公式如下：
   $$s_{{\hat{\beta }}_1}=\frac{s_e}{\sqrt{\sum x_i^2-\frac{1}{n}(\sum x_i{)}^2}}$$
   $$s_e=\sqrt{\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n-2}}=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}=\sqrt{MSE}$$
   其中，$s_e$是$\sigma$的估计量，称为估计标准误差；因为$\sigma$通常未知，所以用$s_{\hat{\beta }1}$作为$\sigma {\hat{\beta }}_1$的估计量。

2. 提出检验：$H_0:{\beta }_1=0$，两个变量之间的线性关系不显著，即没有线性关系。

3. 计算检验统计量t

4. 做出决策
   若$|t|>t_{\alpha /2}$，拒绝原假设，两个变量之间有线性关系；
   若$|t|<t_{\alpha /2}$，接受原假设，两个变量之间没有线性关系。

---

📖 excel数据分析中，其他参数的计算公式：

---

11.2.5 回归分析结果的评价

☑️ 如何判断一元线性回归模型的效果

（1）看${\hat{\beta }}_1$：所估计的回归系数${\hat{\beta }}_1$的符号是否与理论或事先预期相一致；

（2）看t检验：判断回归系数是否显著。如果理论上认为y与x之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此；

（3）看$R^2$：可以用判定系数$R^2$来回答回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异；

（4）看F检验：考察关于误差项ε的正态性假定是否成立。

---

11.3 如何利用回归方程进行预测？

11.3.1 点估计

📖 利用估计的回归方程，对于x的一个特定值x0，求出y的一个估计值就是点估计。

点估计可分为两种：
一是平均值的点估计；
二是个别值的点估计。

在点估计的条件下，对于同一个x0，平均值的点估计和个别值的点估计的结果是一样的，但在区间估计中则有所不同。

---

11.3.2 区间估计

📖 利用估计的回归方程，对于x的一个特定值x0，求出y的一个估计值的区间就是区间估计。

区间估计也有两种类型：
一是置信区间估计，它是对x的一个给定值x0，求出y的平均值的估计区间，这一区间称为置信区间；
二是预测区间估计，它是对x的一个给定值x0，求出y的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间。

---

🔑 置信区间估计
通过${\hat{y}}_0$估计$E(y_0)$的区间，需要知道${\hat{y}}_0$的标准差，用$s_{{\hat{y}}_0}$表示${\hat{y}}_0$的标准差的估计量。

${\hat{y}}_0$的置信区间如下：

$$\hat{y}0\pm t\alpha /2s_e\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}}$$

---

🔑 预测区间估计

$$\hat{y}0\pm t\alpha /2s_e\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}}$$

对比预测区间估计、置信区间估计的公式，预测区间估计的公式根号内多了一个1。
可见，预测区间要比置信区间更宽。

---

📖 注意：在利用回归方程进行估计或预测时，不要用样本数据最大最小值之外的x值去预测相对应的y值，结果会比较不理想。

---

11.4 为什么要进行残差分析，及如何分析？

11.4.1 残差与残差图

📖 一元相信回归模型中，假定$\epsilon$是期望值为0、方差相等且服从正态分布的一个随机变量。

如果假定不满足，则检验、估计和预测则可能站不住脚，所以需要对$\epsilon$的假定是否成立进行判断，方法之一就是残差分析。

---

📌 残差
因变量的观测值$y_i$与根据估计的回归方程求出的预测值${\hat{y}}_i$之差，用$e$表示。
反映了用估计的回归方程去预测$y_i$引起的误差，公式如下：

$$e_i=y_i-{\hat{y}}_i$$

---

📌 残差图
用于判断$\epsilon$的假定是否成立；其中x为横轴，$e$为纵轴。

---

11.4.2 标准化残差

标准化残差
用于判断$\epsilon$的假定是否成立；是残差除以它的标准差后得到的数值，用$z_e$表示，公式如下：
$$z_{e_i}=\frac{e_i}{s_e}=\frac{y_i-{\hat{y}}_i}{s_e}$$

如果误差项$\epsilon$服从正态分布这一假定成立，那么标准化残差的分布也应服从正态分布。
因此，在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2～+2之间。

书籍：《统计学（第六版）》
书籍作者：贾俊平

内容思维导图