离散系统的李雅普诺夫稳定判据

任意离散系统的李雅普诺夫稳定判据

  设离散系统的状态方程为：$$X(k+1)=f[X(k),k],k\ge 0$$其中，$X(k)$是系统在$k$时刻的状态向量，$X(k+1)$是系统在$k+1$时刻的状态向量，函数$f$可以是线性的也可以是非线性的；并且有$f[0,k]=0$，即$X(k)=0$时为系统的平衡点，记为$X_e$。
  假定在$X_e=0$的某一邻域$\Omega$内有一个正定标量函数$V[X(k)]$，简记为$V_k$，即$$\begin{gathered} X(k)\ne 0,V_k>0 \\ X(k)=0,V_k=0 \end{gathered}$$
对于$\Delta V_k=V(k+1)-V(k)$有以下三种情况：
（1）$V_k$的增量半负定，即$$\begin{gathered} X(k)=0,\Delta V_k=0 \\ X(k)\ne 0,\Delta V_k\le 0 \end{gathered}$$则该系统平衡点$X_e=0$在其邻域$\Omega$内是一致稳定的；
若同时还满足：当$||X(k)||\to \infty$时，$V_k\to \infty$，则该系统平衡点$X_e=0$为大范围一致稳定；
（2）$V_k$的增量负定，即$$\begin{gathered} X(k)=0,\Delta V_k=0 \\ X(k)\ne 0,\Delta V_k<0 \end{gathered}$$或$$\Delta V_k\le 0,V_k\not\equiv 0$$则该系统平衡点$X_e=0$在其邻域$\Omega$内是一致渐进稳定的；
若同时还满足：当$||X(k)||\to \infty$时，$V_k\to \infty$，则该系统平衡点$X_e=0$为大范围一致渐进稳定；
（3）$V_k$的增量正定，即$$\begin{gathered} X(k)=0,\Delta V_k=0 \\ X(k)\ne 0,\Delta V_k>0 \end{gathered}$$则该系统平衡点$X_e=0$在其邻域$\Omega$内是是不稳定的；
若同时还满足：当$||X(k)||\to \infty$时，$V_k\to \infty$，则该系统平衡点$X_e=0$为大范围不稳定。

注：对于一致系统，由于$\Delta V_k\le 0$，系统可能存在闭合的状态运动轨线（相轨迹），满足$\Delta V_k=0$，系统就不会收敛到平衡点而是收敛到闭合轨线，在非线性系统中，这种闭合轨线就称为极限环，系统的状态运动为等幅振荡形式。

线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定判据

  设线性定常离散系统的状态方程为$$X(k+1)=AX(k)$$$X_e=0$是系统的平衡点。$A$为$n\times n$型非奇异矩阵。取李雅普诺夫函数$$V_k=V[X(k)]=X^T(k)PX(k)$$其中，P是$n\times n$正定的的实对称常数矩阵。显然有$V_k$是正定标量函数。
  $V_k$的增量为$$\begin{array}{rl}\Delta V_k& =V_{k+1}-V_k=X^T(k+1)PX(k+1)-X(k{)}^{T}PX(k)\\ & =[AX(k){]}^{T}P[AX(k)]-X^T(k)PX(k)\\ & =X^T(k)[A^{T}PA-P]X(k)\end{array}$$令$-Q=A^{T}PA-P$，显然当Q是正定的，则$A^{T}PA-P$是负定的，相应的$\Delta V_k$也是负定的，因而系统的平衡点$X_e=0$是渐近稳定的，也是大范围渐近稳定的。

注：通常取正定对称矩阵Q为单位矩阵，即$Q=I$，求取对称矩阵P，并验证其正定性，若P阵是正定的，则系统平衡点$X_e=0$一定是大范围渐近稳定。