华里士公式的推导及其推广

基础知识

华里士公式

$$\begin{array}{r}{I}_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{llc}\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}& & nisodd,\\ & & \\ \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\frac{\pi }{2}& & niseven\end{array}\end{array}$$

基础公式的推导

仅以${\sin }^{n}x$为例，有
$$\begin{array}{rl}{I}_n& =-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}x\mathrm{d}\cos x\\ & =-{{\sin }^{n-1}x\cdot \cos x|}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(n-1)\cdot {\cos }^{2}x\cdot {\sin }^{n-2}x\mathrm{d}x\\ & =(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}x)\cdot {\sin }^{n-2}x\mathrm{d}x\\ & =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{array}$$
即
$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$
分情况讨论，求出通项公式，即可得原式成立。

华里士公式的推广

推广公式

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{m}{2}\pi }{\sin }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}m{I}_n& niseven,\\ & \\ I_n& nisodd,m=2k+1,\\ & \\ 2I_n& nisodd,m=4k+2,\\ & \\ 0& nisodd,m=4k\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{m}{2}\pi }{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}m{I}_n& niseven,\\ & \\ I_n& nisodd,m=4k+1,\\ & \\ -I_n& nisodd,m=4k+3,\\ & \\ 0& nisodd,m=2k\end{array}\end{array}$$

当 $m=1$ 时，该公式退化为原华里士公式。

推广公式的图像理解

这是 $f(x)={\sin }^{3}x$ 的图像（对应n为奇数时的情况）：

由图可知，$f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数，且函数在$[0,\frac{\pi }{2}]$ 与 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 的部分各自与x轴围成的面积相等，函数在$[0,\pi ]$ 与 $[\pi ,2\pi ]$ 的部分各自与x轴围成的面积也相等。

这是 $f(x)={\sin }^{4}x$ 的图像（对应n为偶数时的情况）：

由图可知，$f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数，且函数在$[0,\frac{\pi }{2}]$ 与 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 的部分各自与x轴围成的面积相等。

故无论m的值为多少，积分值都是 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 的 $m$ 倍。

推广公式的特例

m=2

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}x\mathrm{d}x=2I_n\\ & {\int }_0^{\pi }{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}2I_n& niseven\\ 0& nisodd\end{array}\end{array}$$

m=4

$$\begin{array}{r}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}4I_n& niseven\\ 0& nisodd\end{array}\end{array}$$