负指数二项式展开

前言

今日在学习陈希孺先生的《概率论与数理统计》一书时，看到了一个之前未闻的负二项分布，于是上溯到负指数的二项式展开，这方面从前未知，照例学习一番，写篇博客，即入即出。

含负数的组合数

我们通常的二项式展开的指数是非负整数，例如：
$$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n{C}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$$
其中$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$，又记做$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$。我们高中学到的二项式展开，$n$和$r$通常是非负整数，如果我们要展开像是$(a+b{)}^{-3}$这样指数是负数的二项式，就要把上面的$n$拓展到负数，而$r$仍是非负整数。

$n$拓展到负数以后，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$的计算方法还是一样的，即：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
假设$n$,$k$为正数，我们根据这个定义计算一下$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k}\right)$:
$$\begin{array}{rl}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k}\right)=& \frac{(-n)(-n-1)\cdots (-n-(k-1))}{k!}\\ =& (-1{)}^k\frac{n(n+1)\cdots (n+k-1)}{k!}\\ =& (-1{)}^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\\ =& (-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})\end{array}$$

负指数二项式的麦克劳林展开

$f(x)$的麦克劳林级数（Maclaurin series ）定义为：
$$f(x)=f(0)+f^{{}^{\prime }}(0)x+\frac{f^{"}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+\cdots$$
假设$n$为正数，以$\frac{1}{(1+x{)}^n}$为例，求其二项式展开。

首先根据Maclaurin级数展开$\frac{1}{(1+x{)}^n}$：
$$\begin{array}{rl}f(x)=(1+x{)}^{-n}\Rightarrow & f(0)=1\\ f^{{}^{\prime }}(x)=(-n)(1+x{)}^{(-n-1)}\Rightarrow & f^{{}^{\prime }}(0)=-n\\ f^{"}(x)=(-n)(-n-1)(1+x{)}^{(-n-2)}\Rightarrow & f^{"}(0)=(-n)(-n-1)\\ & ⋮\\ f^{(k)}(x)=(-n)(-n-1)\cdots (-n-(k-1))(1+x{)}^{-n-k}\Rightarrow & f^{(k)}(0)=(-n)(-n-1)\cdots (-n-(k-1))\\ & ⋮\end{array}$$
代入得：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =1+(-n)x+\frac{(-n)(-n-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{(-n)(-n-1)\cdots (-n-(k-1))}{k!}{x}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k}\right)x^k\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})x^k\end{array}$$

参考资料

[1] Negative Binomial Theorem