即使证明课本定理一直是考研数学的争议点，但是 32 年来高数课本定理的证明已经考得差不多了，其中牛顿莱布尼茨公式：${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ 便是没有考到的其中之一。

证明：${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$， 其中 $F(x)为f(x)$ 的原函数。

【证明】¹

可知： $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+C$，其中，$C$为任意常数，则有：
$$F(a)={\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t+C=C$$

$$F(b)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t+C$$

故，$$F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

即：

$$F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

证毕。

证明定理的争议在于在证明的过程中可不可以使用其他定理，比如我证明这道题的前提便是：“可知： $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+C$ ”，所以 $F^{\prime }(x)=f(x)$。但这个前提是否也需要证明，便是争议的地方。那末，我们也不妨证明一下：

设 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+C$，证明： $F^{\prime }(x)=f(x)$。

【证明】²

根据导数定义：
$$F^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x}$$

根据积分中值定理³：$\exists \xi \in (x,x+\Delta x)$，使得：
$${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t=f(\xi )\cdot (x+\Delta x-x)=f(\xi )\cdot \Delta x$$

故，
$$F^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\xi )\cdot \Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\xi )$$

当 $\Delta x\to 0$ 时， $\xi \to x$，故
$$F^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\xi )=f(x)$$

证毕。

那末，问题再次出现了，我们还要证明积分中值定理？