1.模型理解

• 双层规划问题就是指这种优化问题：目标函数中的一组变量被约束为另一优化问题的最优解；更简单来说，就是一个优化问题问题的参数受限于另一个优化问题，这两个问题相互影响。

2.数学定义

公式定义：
$$mi{n}_{\theta ,w_{\theta }}F(w_{\theta },\theta )suchthat{w}_{\theta }\in mi{n}_{w}L(w,\theta )$$
其中

• $F(w_{\theta },\theta )$：外部优化问题的目标函数
• $L(w,\theta )$：内部优化问题的目标函数
• $\theta$：外部变量/超参数
• w：内部变量

解释

1. 针对上述公式，我们的最终目的其实是求$F(W\theta ,\theta )$的最小值，但是它其中的一个参数$w_{\theta }$是关于另一个问题，$L(w,\theta )$解的函数
2. 上面的目标函数 F 和 L可以通俗理解为训练网络的时候，使用的损失函数，比如说网络预测值与真实值差值的平方和
3. 在机器学习中，有一类应用是通过双层规划问题来优化超参数，超参数优化问题的基本思想是在给定一个度量标准的情况下，使用验证集构建一个超参数的响应函数（eg:验证集上的平均损失）
4. 在2的这种情况下，一般外部目标函数$F(W\theta ,\theta )$是基于验证集的，而内部目标函数$L(w,\theta )$是基于训练集的。这样设置的一个直观的解释是：内部目标函数通过采用训练集样本不断优化内部变量，也就是不断优化网络各层的参数w；而外部目标函数则通过验证集样本不断优化外部变量，也就是优化超参数。

3.一种求解思路

求解双层规划问题是比较困难的，因为内部优化问题一般是很难找到其闭合解（也成为解析解，即存在严格的公式，给定 x 就能求出 y ）。一种求解双层规划问题的思路是：

• 固定外层超参数，优化内层参数：将内部优化问题的求解看做是一个迭代优化的过程，使用梯度下降或者各类变体算法近似求解内层目标函数的解，及使用下列公式进行多次梯度下降优化w，假设经过T次梯度下降后，得到内层优化问题的近似解 $W\theta ,T$

  $$W_t=\Phi (w_{t-1},\theta )=w_{t-1}-\eta \nabla L(w_{t-1},\theta ),t=1,2,3,....,T$$

• 固定内层超参数，优化外层超参数：在获得内层近似解之后，针对外层也采用梯度下降优化超参数，计算外层目标函数对超参数θ的导数（公式3所示），然后更新超参数（公式4所示）

  $$\begin{gathered} {\nabla }_{\theta }F(w_{\theta },\theta )={\alpha }_{w}F(w_{\theta },T,\theta ){\nabla }_{\theta w_{\theta },T}+{\alpha }_{\theta }F(w_{\theta },T,\theta )(3) \\ \theta =\theta -{\eta }_{outer}{\nabla }_{\theta }F(w_{\theta },T,\theta )(4) \end{gathered}$$

• 上述两个过程一般会进行多次迭代，具体在不同的应用中可以设置不同的循环停止条件，例如根据early stopping，或者根据训练误差和验证误差的关系

4.参考资料

机器学习中的双层规划问题