线性回归

概念

线性回归（linear regression） 是一种简单的指导学习方法，它假设 $Y$ 和 $X_1,X_2,\cdots ,X_p$ 的关系是线性的。

真正的回归函数永远都不是线性的。

虽然线性回归看起来过于简单，但它在概念上和实际上都非常有用。

简单线性回归

$$Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X+\epsilon$$其中 ${\beta }_0,{\beta }_1$ 是两个未知的量，被称为模型的系数（coefficients）或参数（parameters），分别代表截距（intercept）和斜率（slope）。$\epsilon$ 为误差项。

从训练数据中估计出模型的系数，我们可以得到
$$\hat{y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_{1}x$$其中 $\hat{y}$ 表示在 $X=x$ 的基础上对 $Y$ 的预测。

估计系数（最小二乘）

令 ${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ 为根据 $X$ 的第i个值预测的 $Y$，$e_i=y_i-{\hat{y}}_i$ 表示第i个残差（residual）。

我们定义残差平方和（residual sum of squares ,RSS）：
$$\begin{gathered} RSS=e_1^2+e_2^2+\cdots +e_n^2 \\ RSS=(y_1-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_1{)}^2+(y_2-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_2{)}^2+\cdots +(y_n-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_n{)}^2 \end{gathered}$$
最小二乘法选择 ${\beta }_0,{\beta }_1$ 来使RSS最小。可以计算出使RSS最小的参数估计值为：
$$\begin{gathered} {\hat{\beta }}_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2} \\ {\hat{\beta }}_0=\bar{y}-{\hat{\beta }}_1\bar{x} \\ 其中，\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i，\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i，为样本均值。 \end{gathered}$$

评估系数估计值的准确性

估计值的标准误差（standard error） 反映了它在重复采样下的变化。
$$\begin{gathered} SE({\hat{\beta }}_1)=\frac{{\sigma }^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\hat{x}{)}^2},SE({\hat{\beta }}_0)={\sigma }^2[\frac{1}{n}+\frac{{\hat{x}}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\hat{x}{)}^2}] \\ 其中，{\sigma }^2=Var(\epsilon ) \end{gathered}$$
一般情况下，${\sigma }^2$ 是未知的，但可以从数据中估计出来，对 ${\sigma }^2$ 的估计被称为残差标准误（residual standard error），由下式定义。
$$RS{E}^2=RSS/(n-2)$$标准误差可用于计算置信区间（confidence intervals）。95%的置信区间被定义为一个一个取值范围：该范围有95%的概率会包含未知参数的真实值。对于线性回归模型，${\beta }_1$ 的95%置信区间为：
$${\hat{\beta }}_1\pm 2\ast SE({\hat{\beta }}_1)$$也就是，下述区间
$$[{\hat{\beta }}_1-2\ast SE({\hat{\beta }}_1),{\hat{\beta }}_1+2\ast SE({\hat{\beta }}_1)]$$有大约95%的可能会包含 ${\beta }_1$ 的真实值。

标准误差也可用来对系数进行假设检验（Hypothesis testing）。最常用的假设检验包括对零假设（null hypothesis）和备择假设（alternative hypothesis） 进行检验。

零假设：$H_0$：X和Y之间没有关系

备择假设：$H_1$：X和Y之间有一定的关系

数学上就相当于检验
$$\begin{gathered} H_0:{\beta }_1=0 \\ {H}_a:{\beta }_1\ne 0 \end{gathered}$$为了检验零假设，我们计算t统计量
$$t=\frac{{\hat{\beta }}_1-0}{SE({\hat{\beta }}_1)}$$上式服从自由度为n-2的t分布。

假设 ${\beta }_1=0$，计算任意观测值大于等于 $|t|$ 的概率十分简单，称这个概率为p值（p-value）。如果看到一个很小的p值，就能拒绝原假设，推断出预测变量和响应变量间存在关联。

评价模型的准确性

判断线性回归的拟合质量通常使用两个相关的量：**残差标准误（residual standard error,RSE）**和 $R^2$ 统计量。

我们计算残差标准误：
$$\begin{gathered} RSE=\sqrt{\frac{1}{n-2}RSS}=\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i}{)}^2} \\ 其中，RSS=\sum _{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i}{)}^2 \end{gathered}$$
RSE越小，说明模型得到的预测值非常接近真实值，拟合程度较好。

$R^2$ 统计量：
$$R^2=\frac{TSS-RSS}{TSS}=1-\frac{RSS}{TSS}$$
其中，$TSS={\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2$ 是总平方和（residual sum of squares）。

相关性 $r=Cor(X,Y)$ ：
$$r=Cor(X,Y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$$
r可以代替 $R^2$ 评估线性模型的拟合度。在简单线性回归模型中，$R^2=r^2$。

多元线性回归

$$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\cdots +{\beta }_p{X}_p+\epsilon$$其中，$X_j$ 代表第 $j$ 个预测变量，${\beta }_j$ 代表第 $j$ 个预测变量和响应变量之间的关联。${\beta }_j$ 可解释为在所有其他预测变量保持不变（holding all other predictors fifixed） 的情况下，$X_j$ 增加一个单位对 $Y$ 产生的平均（average） 效果。

预测变量之间的相关性会导致以下问题：所有系数的方差往往会增加，有时也会急剧增加；解释会变得危险——当 $X_j$ 改变时，其他一切都会改变。

对于观测数据，应避免因果关系（Claims of causality）。

估计回归系数

对于给定的回归系数 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,\cdots ,{\hat{\beta }}_p$，可以用如下公式进行预测：
$$\hat{y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_1+{\hat{\beta }}_2{x}_2+\cdots +{\hat{\beta }}_p{x}_p$$多元线性回归中的参数也用最小二乘法估计，使残差平方和RSS最小：
$$RSS=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\cdots --{\hat{\beta }}_p{x}_{ip}{)}^2$$

一些重要问题

1、预测变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_p$ 中是否至少有一个可以用来预测响应变量？

在有 $p$ 个预测变量的多元回归模型中，我们要检验所有的回归系数是否均为零，即 ${\beta }_1={\beta }_2=\cdots ={\beta }_p=0$ 是否成立：
$$\begin{gathered} H_0：{\beta }_1={\beta }_2=\cdots ={\beta }_p=0 \\ {H}_a：至少有一个{\beta }_j\ne 0 \end{gathered}$$可以用F统计量：
$$F=\frac{(TSS-RSS)/p}{RSS/(n-p-1)},服从F_{p,n-p-1}$$F大于临界值时，拒绝原假设。

2、选定重要变量

最直接的方法称为所有子集（all subsets）或最佳子集（best subsets） 回归：我们计算适合所有可能子集的最小二乘值，然后根据一些平衡训练误差和模型大小的标准在它们之间进行选择。然而，我们通常不能检查所有可能的模型。

向前选择（Forward selection）

从零模型（null model）——只含有截距但不含预测变量的模型开始，拟合p个简单线性回归，并在零模型中添加能使RSS最小的变量。然后再加入一个新变量，得到新的双变量模型，加入的变量是使新模型的RSS最小的变量。继续持续此过程，直到满足某些停止规则为止，比如当所有剩余变量的p值都高于某个阈值时。

向后选择（Backward selection）

先从包含所有变量的模型开始，删除p值最大的变量——统计学上最不显著的变量。拟合完包含（p-1）个变量的新模型后，再删除p值最大的变量。此过程持续到满足某种停止规则为止，例如，当所有剩余变量的p值均低于某个阈值时，停止删除变量。

模型选择

Mallow’s统计量 Cp、赤池信息量准则（Akaike information criterion，AIC)、贝叶斯信息准则（Bayesian information criterion，BIC）、调整R方（adjusted $R^2$）和交叉检验（Cross-validation，CV）。

3、模型拟合

$R^2、RSE$
$$RSE=\sqrt{\frac{1}{n-p-1}RSS}$$

回归模型中的其他注意事项

定性预测变量（Qualitative Predictors）

一些预测变量不是定量的而是定性的。这些也被称为分类预测因子或因子变量。

二值预测变量

调查男女信用卡债务差异，忽略其他变量，创造一个新的变量
$$x_i=\{\begin{array}{l}1女性\\ 0男性\end{array}$$并在回归方程中使用这个变量：
$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i=\{\begin{array}{l}{\beta }_0+{\beta }_1+{\epsilon }_i女性\\ {\beta }_0+{\epsilon }_i男性\end{array}$$${\beta }_1$ 是男性和女性之间信用卡债务的平均差异。

定性变量有两个以上的水平

可以创造更多的虚拟变量。例如，对种族创建两个变量：
$$\begin{gathered} x_{i1}=\{\begin{array}{l}1亚洲人\\ 0非亚洲人\end{array} \\ {x}_{i2}=\{\begin{array}{l}1白种人\\ 0非白种人\end{array} \end{gathered}$$将这两个变量用于回归方程中：
$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+{\epsilon }_i=\{\begin{array}{l}{\beta }_0+{\beta }_1+{\epsilon }_i亚洲人\\ {\beta }_0+{\beta }_2+{\epsilon }_i白种人\\ {\beta }_0+{\epsilon }_i非裔美国人\end{array}$$dummy variable的数量总是比水平数少1。没有相对应的dummy variable的水平——上例是非裔美国人——被称为基准水平（baseline）。

线性模型的扩展

交互作用（interactions）

也叫做协同（synergy） 效应。

考虑在模型中加入交互项：
$$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_1{X}_2+\epsilon$$上式可以写成
$$Y={\beta }_0+({\beta }_1+{\beta }_3{X}_2)X_1+{\beta }_2{X}_2+\epsilon ={\beta }_0+{\tilde{\beta }}_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\epsilon$$其中 ${\tilde{\beta }}_1={\beta }_1+{\beta }_2{X}_2$。调整 $X_2$ 的值将改变 $X_1$ 对 $Y$ 的影响。检验：$H_0:{\beta }_3=0，H_A:{\beta }_3\ne 0$

少数情况下，交互项的p值很小，但相关的主效应的p值却不然。

实验分层原则（hierarchical principle）：如果模型中含有交互项，那么即使主效应的系数的p值不显著，也应包括在模型中。

定性变量和定量变量之间的相互作用

不含交互项的模型：
$$balanc{e}_i\approx {\beta }_0+{\beta }_1\ast incom{e}_i+\{\begin{array}{l}{\beta }_2学生\\ 0非学生\end{array}={\beta }_1\ast incom{e}_i+\{\begin{array}{l}{\beta }_0+{\beta }_2学生\\ {\beta }_0非学生\end{array}$$含交互项的模型：
$$balanc{e}_i\approx {\beta }_0+{\beta }_1\ast incom{e}_i+\{\begin{array}{l}{\beta }_2+{\beta }_3\ast incom{e}_i学生\\ 0非学生\end{array}=\{\begin{array}{l}({\beta }_0+{\beta }_2)+({\beta }_1+{\beta }_3)\ast incom{e}_i学生\\ {\beta }_0+{\beta }_1\ast incom{e}_i非学生\end{array}$$

非线性关系

多项式回归（polynomial regression）

例如二次方（quadratic）：
$$mpg={\beta }_0+{\beta }_1\ast horsepower+{\beta }_2\ast horsepowe{r}^2+\epsilon$$

潜在的问题

（1）非线性的响应——预测关系（nonlinaerity of response-predictor relationship）：可用残差图（residual plot） 识别非线性。

（2）误差项自相关（correlation of error term）：常出现在时间序列数据中，会低估标准误与p值。

（3）误差项方差非恒定（non-constant variance of error term）：存在异方差性。

（4）离群点（outlier）：$y_i$ 远离模型预测值的点。

（5）高杠杆点（high-leverage point）：观测点 $x_i$ 是异常的

杠杆统计量：
$$h_i=\frac{1}{n}+\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{{\sum }_{i^{\prime }=1}^n(x_{i^{\prime }}-\bar{x}{)}^2}$$
如果给定观测的杠杆统计量大大超过(p+1)/n，那么可以怀疑对应点有较高的杠杆作用。

（6）共线性（collinearity）：

方差膨胀因子（variance inflation factor,VIF）：
$$VIF({\hat{\beta }}_j)=\frac{1}{1-R_{X_j|X_{-j}}^2}$$
其中 $R_{X_j|X_{-j}}^2$ 是 $X_j$ 对所有预测变量回归的 $R^2$。如果该值接近于1，那么存在共线性，VIF会很大。