Z变换与“s变换”（拉普拉斯变换）的探讨

  我们发现：z变换并不能直接对连续系统的传递函数G(s)进行$z=e^{s}T,s=\frac{lnz}{T}$的简单替换。首先T的意义是采样信号的时间间隔，同时也是采样频率的倒数。而对于连续系统，“采样时间间隔”为0。
我们做如下对比：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-st}dt=G(s)$$
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }_T(t)e^{-st}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)e^{-nsT}=G(z)$$
我们利用定积分的定义：
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\sum _{i=0}^{n-1}(f(x_1+i\cdot \Delta x)\cdot \Delta x)\right](\Delta x=(x_2-x_1)/n)$$
所以，我们可以尝试这样的变换（自己推的哈哈，不会严谨的证明）：
$$\underset{T\to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(T\cdot f(nT)e^{-nsT})=\underset{T\to 0}{\lim }\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }(f(nT)e^{-nsT}\cdot T)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-st}dt=G(s)$$
$$\Rightarrow \underset{T\to 0}{\lim }T\cdot G(z)=G(s)$$
  如$1(t)\to \frac{1}{s}\to \frac{1}{1-z^{-1}}$，（其他例子没试过。。。，这里用的是泰勒展开取前几项）（当然，求极限也可以用L’hospital rule(洛必达法则)）
$$\underset{T\to 0}{\lim }T\cdot \frac{1}{1-e^{-sT}}\stackrel{\text{Taylor expansion}}{\to }\underset{T\to 0}{\lim }\frac{T}{1-1-sT}=\underset{T\to 0}{\lim }\frac{T}{sT}=\frac{1}{s}$$
  或许可以试试把$s\to \frac{1-z^{-1}}{T}$？（其实不行，一个直观的理由是：${\lim }_{T\to 0}\frac{1-z^{-1}}{T}=s$，但不过这只是一种满射（也就是说不止一种表达式的极限等于s），所以我们暂时只能利用极限从s域变为z域）