线性二次型问题

• 线性二次型问题：系统为线性系统，性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，这类系统的最优控制问题。

• 主要内容：最优状态调节、最优输出调节和最优跟踪，其中，最优输出调节问题和最优跟踪问题可以化为最优状态调节问题。

• 特点：
  1）应用广泛，可应用于工作在小信号条件下的非线性系统；
  2）控制规律是状态变量的线性函数。
  3）具有良好的频域特性，可实现极点最优配置

一、线性二次型问题

问题描述:线性时变系统的动态方程为
$\dot{x}$(𝒕)=𝑨(𝒕)𝒙(𝒕)+𝑩(𝒕)𝒖(𝒕) 𝒙($t_0$)=$x_0$
𝒚(𝒕)=𝑪(𝒕)𝒙(𝒕) 其中，𝒙(𝑡)n维， 𝒖(𝑡)m维， y(𝑡)l维
假设控制向量𝒖(𝑡)不受约束 ，用𝒚_𝑙 (𝑡)表示期望输出，
则误差向量为𝒆(𝑡)=$y_l$(𝑡)−𝒚(t)
指标泛函： $$J=\frac{1}{2}{e}^T(t_f)Se(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[e^T(t)Q(t)+u^T(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t$$
$t_0$和$t_f$固定，求最优控制𝒖^∗ (𝒕)，使性能指标有最小值。
此问题称线性二次型性能指标的最优控制问题

线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。
线性二次型问题的三种重要情形：
$\dot{x}$(𝒕)=𝑨(𝒕)𝒙(𝒕)+𝑩(𝒕)𝒖(𝒕)
𝒚(𝒕)=𝑪(𝒕)𝒙(𝒕)
𝒆(𝒕)=$y_l$ (𝒕)−𝒚(𝒕)

1.状态调节器问题 𝑪(𝒕)=𝑰 $y_l$(𝒕)=𝟎 𝒚(𝒕)=𝒙(𝒕)=−𝒆(𝒕)
$$J=\frac{1}{2}{x}^T(t_f)Fx(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[x^T(t)Q(t)x(t)+u^T(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t$$
当系统受扰偏离平衡状态时，要求系统产生控制向量，使指标极小，即，使𝒙(𝒕)始终保持在平衡点附近。

2.输出调节器问题 $y_l$(𝒕)=𝟎 𝒚(𝒕)=−𝒆(𝒕)
$$J=\frac{1}{2}{y}^T(t_f)Fy(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[y^T(t)Q(t)y(t)+u^T(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t$$
当系统受扰偏离平衡状态时，要求系统产生控制向量，使指标极小，即，使系统输出𝒚(𝒕)始终保持在平衡点附近。

3.跟踪问题 $y_l\ne 0$ $e(t)=y_l(t)-y(t)$
$$J=\frac{1}{2}{e}^T(t_f)Fe(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[e^T(t)Q(t)e(t)+u^T(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t$$
使系统实际输出𝒚(𝒕)始终跟随𝒚_𝒍 (𝒕) 变化

二、状态调节器问题

应用举例：电网电压控制；温度控制；压力控制等。
目的：保持系统状态在平衡状态附近；（通常取“零状态”为平衡状态）

• 有限时间状态调节器
  问题描述：设线性时变系统的状态方程为：
  $\dot{x}$(𝒕)=𝑨(𝒕)𝒙(𝒕)+𝑩(𝒕)𝒖(𝒕)，𝒙($t_0$)=$x_0$
  假设控制向量𝒖(𝒕)不受约束 ，求最优控制$u^{\ast }$ (𝒕)，使系统的二次型性能指标取极小值:
  $$J=\frac{1}{2}{e}^T(t_f)Fx(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[e^T(t)Q(t)x(t)+u(t{)}^{T}R(t)u(t)]\mathrm{d}t$$
  权矩阵：𝑭=$F^T\ge 0$; 𝑸(𝒕)=$Q^T(t)\ge 0$;𝑹(𝒕)=$R^T$ (𝒕)>𝟎，$t_f$固定且$t_f$≠∞。
  物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。
  黎卡提方程
  $$-\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)-P(t)B(t)R^{-1}(t)B^T(t)P(t)+Q(t)$$
  边界条件 $P(t_f)=F$
  最优轨线$x^{\ast }$ (𝒕)是满足下列线性向量微分方程的解：
  $$-\dot{x}(t)=[A(t)-B(t)R^{-1}(t)B^T(t)P(t)]x(t),x(t_0)=x_0$$
  $$u^{\ast }(t)=-K(t)x=-R^{-1}(t)B^T(t)P(t)x(t)$$

• 无限时间状态调节器

  • 问题描述：设线性时变系统的状态方程为：
    $\dot{x}$(𝒕)=𝑨(𝒕)𝒙(𝒕)+𝑩(𝒕)𝒖(𝒕) $x(t_0)=x_0,t_f=\infty$ 假设控制向量𝒖(𝒕)不受约束 ，求最优控制u^* (𝒕) ,使系统的性能指标取极小值:
    $$J=\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{\infty }[x^T(t)Q(t)x(t)+u(t{)}^{T}R(t)u(t)]\mathrm{d}t$$
    定理：对于无限时间时变状态调节器问题，若{𝑨(𝒕),𝑩(𝒕)}完全可控，则存在唯一的最优控制：$u^{\ast }(t)=-R^{-1}(t)B^T(t)\bar{P}(t)x$，
    最优性能指标为:$J^{\ast }(t)=\frac{1}{2}x(t_0{)}^T\bar{P}(t_0)x(t_0)$
    $\bar{P}(t)={\lim }_{t_f\to \infty }P(t)$，是对称的，非负的。
    𝑷(𝒕)是如下黎卡提方程的唯一解，且𝐏($t_f$)=𝟎：
    $$-\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)-P(t)B(t)R^{-1}(t)B^T(t)P(t)+Q(t)$$
    关于定理需要注意的问题：
    1.要求系统完全能控。（保证最优解的存在）
    2.F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应，不考虑终点指标；
    3.$\bar{P}(t)$是时变的矩阵，最优控制律是时变的。

• 问题描述：设线性定常系统的状态方程为：
  $\dot{x}$(𝒕)=𝑨𝒙(𝒕)+𝑩𝒖(𝒕) $x(t_0)=x_0,t_f=\infty$假设控制向量𝒖(𝒕)不受约束 ，求最优控制u^* (𝒕) ,使系统的性能指标取极小值:
  $$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }[x^T(t)Qx(t)+u(t{)}^{T}Ru(t)]\mathrm{d}t$$
  𝑸——非负定对称阵；𝑹——正定对称阵
  定理：对于无限时间定常状态调节器问题，若对于任意矩阵𝑫有$D{D}^T=Q$且$\bar{P}$是如下黎卡提矩阵代数方程的解：
  $$\bar{P}A+A^T\bar{P}-\bar{P}B{R}^{-1}{B}^T\bar{P}+Q=0$$
  则， {𝑨,𝑫}完全可观的充要条件是：$\bar{P}$是正定对称矩阵

定理：对于无限时间定常状态调节器问题，若{𝑨(𝒕),𝑩(𝒕)}完全可控， {𝑨,𝑫}完全可观，$D{D}^T=Q$， 𝑫任意，则存在唯一的最优控制$u^{\ast }(t)=-R^{-1}{B}^T\bar{P}x$
最优性能指标为： 𝑱^∗=𝟏/𝟐 〖𝒙_𝟎〗^𝑻 𝑷 ̅ (𝒕_𝟎)𝒙_𝟎,
$\bar{P}$是正定对称矩阵,是黎卡提矩阵代数方程$\bar{P}A+A^T\bar{P}-\bar{P}B{R}^{-1}{B}^T\bar{P}+Q=0$唯一的解。
最优轨线$x^{\ast }(t)$是方程$\dot{x}=(A-B{R}^{-1}{B}^T\bar{P})x$的解。

三、 MATLAB仿真

• 有限时间状态调节器
  例
  $\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u$,初始条件$x_1(0)=1,x_2(0)=0$
  性能指标 $J=\frac{1}{2}{\int }_0^{t_f}[x{}_1^2(t)+u^2(t)]dt$
  $u^{\ast }(t)=-P_{12}(t)x_1(t)-P_{12}(t)x_2(t)=-x_1(t)-\sqrt{2}{x}_2(t)$

A=[0 1;0 0];
B=[0;1];
C=eye(2); %单位阵函数
D=[0;0];
Q=diag([1 0]); %对角阵函数
R=1;
K=lqr(A,B,Q,R); %二次型状态调节器设计
initial(ss(A-B*K,B,C,D),[1,0]) %由初始状态引起的零输入响应

• 无限时间状态调节器

1. 例
   已知系统状态方程表达式为：
   $\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -3& -5& -5\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u$,$y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]$
   系统二次型性能指标为：$$J={\int }_0^{\infty }[x^T(t)Qx(t)+u(t{)}^{T}Ru(t)]\mathrm{d}t$$
   $Q=\left[\begin{array}{ccc}100& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $R=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$

A=[0 1 0;0 0 1;-3 -5 -5];
B=[0;0;1];
C=[1 0 0];
D=0;
Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1];
R=1;
K=lqr(A,B,Q,R);
Ac=A-B*K;
Bc=B*K;
Cc=C;
Dc=D;
e=eig(Ac)

2. 例

已知系统状态方程表达式为：
$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& -2& -3\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u$,$y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]$，
采用输出反馈控制律𝒖(𝒕)=−𝑲𝒚(𝒕)，系统二次型性能指标为：
$$J={\int }_0^{\infty }[y^T(t)Qy(t)+u(t{)}^{T}Ru(t)]\mathrm{d}t$$
$Q=\left[\begin{array}{c}100\end{array}\right]$,$R=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$;试求最优控制的反馈增益矩阵𝑲使性能指标达到最小值。

A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3];
 B=[0;0;1]; C=[1 0 0]; D=0;
 Q=diag([100]);
 R=1;
 [K,P,r]=lqry(A,B,C,D,Q,R)
 t=0:0.1:10;
figure(1);step(A-B*K,B,C,D,1,t)
figure(2);step(A,B,C,D,1,t)