GPS信号的捕获（PMF+FFT方法）

目标

• 获取GPS信号的频率偏移和码相位

程序流程

1. 读取/生成GPS信号

   GPS的导航信号模型为 $$x(n{T}_s)=A\ast D(n{T}_s)C(n{T}_s)cos(2\pi (f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )$$

   其中，$D(n{T}_s)$ 为导航电文，此程序中只读取了导航电文中的一个bit（1ms）；$C(n{T}_s)$为C/A码;$f_{IF}$为中频；$f_d$为多普勒频移；$T_s$为抽样间隔，$F_s=1/T_s$为抽样频率

2. 混频，得到I路信号和Q路信号

   • 基础知识，三角函数和差化积、积化和差

     $$sin(\alpha )\ast cos(\beta )=1/2\ast (sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta ))$$

     $$cos(\alpha )\ast cos(\beta )=1/2\ast (cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta ))$$

     $$sin(\alpha )\ast sin(\beta )=1/2\ast (cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta ))$$

   设本地载波信号为 $sin(2\pi f_{IF}\ast n{T}_s)$ 和 $cos(2\pi f_{IF}\ast n{T}_s)$ ，导航信号与本地载波混频得到I路和Q路混频信号

   I路
   $$\begin{array}{rl}{S}_I& =x(n{T}_s)\ast cos(2\pi f_{IF}\ast n{T}_s)\\ & =A\ast D(n{T}_s)C(n{T}_s)cos(2\pi (f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )\ast cos(2\pi f_{IF}\ast n{T}_s)\\ & =A\ast D(n{T}_s)C(n{T}_s)\ast 1/2\ast (cos(2\pi (2f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )+cos(2\pi f_d+\theta ))\end{array}$$

   Q路
   $$\begin{array}{rl}{S}_Q& =x(n{T}_s)\ast sin(2\pi f_{IF}\ast n{T}_s)\\ & =A\ast D(n{T}_s)C(n{T}_s)cos(2\pi (f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )\ast sin(2\pi f_{IF}\ast n{T}_s)\\ & =A\ast D(n{T}_s)C(n{T}_s)\ast 1/2\ast (sin(2\pi (2f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )-sin(2\pi f_{d}n{T}_s+\theta ))\end{array}$$

3. 低通滤波

   设 $$K=A\ast D(n{T}_s)C(n{T}_s)\ast 1/2$$

   则I信号 $$S_I=K\ast (cos(2\pi (2f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )+cos(2\pi f_d+\theta ))$$

   Q路信号 $$S_Q=K\ast (sin(2\pi (2f_{IF}+f_d)n{T}_s+\theta )-sin(2\pi f_{d}n{T}_s+\theta ))$$

   可以看出I/Q两路信号都有两个主要的频率分量， $2\pi (2f_{IF}+f_d)$ 和 $2\pi f_d$ ，分别对应GPS导航信号与本地载波的和频与差频。如果这时滤掉和频保留差频，然后找到差频的频率，就是多普勒频移。

4. 降采样，减少不必要的计算

   在经过低通滤波之后，信号中保留着多普勒频移、伪码和数据，其中速率最高的伪码的码率为1023kbps，根据奈奎斯特采样定理，此时数据的采样率只要高于1023*2就可以保证数据的有效性。为了尽可能的降低运算量，可以进行降采样，把采样率从原来的26MSPS降低到2046SPS。

   伪代码如下：

   /** fs      -- 原始采样率
    *  fs_re   -- 降采样后的采样率
    *  N       -- 原始数据的采样点数
    *  cnt     -- 重采样后数据的下标
   **/
   temp = -1;
   
   for(int i = 0; i < N; i++)
   {
       cnt = 向下取整(i * fs_re / fs);
       
       if(temp == cnt - 1)
       {
           data_re(cnt) = data(i);
           temp = cnt;
       }
   }
   

5. 相干积分

   经过低通滤波和降采样后的数据里面主要有两种成分，伪码和多普勒频移。因为伪码的频率再在频谱上均匀分布，只有去掉伪码才能将多普勒频移找出来。伪码调制再载波信号中，是一种双极性不归零的信号（GPS导航电文也是一种双极性不归零的信号）。要去掉伪码，就需要利用双极性不归零信号的性质。

   在BPSK调制中，数字信号是双极性不归零的信号。比如

   1	0	1	0	1	1	0	0

   需要转化为

   1	-1	1	-1	1	1	-1	-1

   再进行调制。

   在捕获GPS信号时，需要本地生成一个标准的伪码信号，也需要是双极性不归零的信号。假设伪码就是上文中的10101100，在伪码对齐的情况下，两个相同的伪码相乘，$ 1*1=1 $ 、 $ -1 * -1 = 1 $。那么

   1	-1	1	-1	1	1	-1	-1

   和

   1	-1	1	-1	1	1	-1	-1

   对应位相乘的结果就是

   1	1	1	1	1	1	1	1

   伪码全部变成1就代表全部变成了直流分量，然后在做FFT或者分组求和后再做FFT就可以得到多普勒频移。再实际的操作中，需要将本伪码不断的循环右移，再相乘后做FFT，然后记录FFT的结果。将记录的结果绘制为立体图如线图所示
   
   其中尖峰所在的x坐标和y坐标对应的坐标就是码相位和多普勒频移，图中使用256点FFT。

6. 找到最高点，计算频率偏移和相位偏移

   遍历记录的FFT结果，找到最高点，计算对应的频率和码相位，就是多普勒频移和码相位。

说明

1. 此文描述都是我个人理解，如有错误请大佬指正
2. Matlab源码和使用的数据将会上传到Gitee和Github。
   Gitee: https://gitee.com/chentianya000/gps_-pmf-fft.git