概率分布

文章目录

• 概率分布
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  • 1 离散概率分布
  • • 1.1 伯努利分布
    • 1.2 二项分布
    • 1.3 泊松分布
  • 2 连续概率分布
  • • 2.1 均匀分布
    • 2.2 指数分布
    • 2.3 正态分布
    • 2.4 卡方分布
    • 2.5 Student分布
    • 3.5 F分布

1 离散概率分布

1.1 伯努利分布

随机变量$X$仅取两个值，$X=0,1$,概率质量函数(PMF)为

P { X = 1 } = p ; P { X = 0 } = 1 − p , p ∈ [ 0 , 1 ] P\{X=1\}=p; P\{X=0\}=1-p,p\in[0,1] P{X=1}=p;P{X=0}=1−p,p∈[0,1]

伯努利累积概率分布(CMF) $F(X\le k)$：

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1.2 二项分布

随机变量服从参数$n,p$的二项分布，记作$X\sim B(n,p)$,PMF函数为
P { X = k } = ( k n ) p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯ n P\{X=k\}=\left(\begin{array}{c} k \\ n \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} ,k=0,1, \cdots n P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯n
其中$\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$是二项式系数。

二项分布CMF:

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1.3 泊松分布

随机变量$X$服从参数$\lambda$，PMF为
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,\cdots$$

对应的CMF为

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2 连续概率分布

2.1 均匀分布

连续型随机变量$X$服从均匀分布记作$X\sim U(a,b)$,概率密度函数(PDF)为
$$f(x)=\{\begin{array}{lc}1/(b-a)& x\in [a,b]\\ 0& else\end{array}$$

均匀分布的累积概率分布为
$$F(x)=\{\begin{array}{l}0,x\le a\\ \frac{x-a}{b-a},a\le x\le b\\ 1,x>b\end{array}$$

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2.2 指数分布

连续型随机变量$X$服从均匀分布记作$X\sim E(\lambda )$,概率密度函数(PDF)为
$$f(x)=\{\begin{array}{lc}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x⩽0\end{array}$$

指数分布的累积概率分布为
P { X ≤ x } = F ( x ) = 1 − e − λ x , x > 0 P\{X \leq x\}=F(x)=1-e^{-\lambda x}, x>0 P{X≤x}=F(x)=1−e−λx,x>0

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2.3 正态分布

连续型随机变量$X$服从正态分布记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$,概率密度函数(PDF)为
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

正态分布累积概率分布不存在初等函数，定义$F(X\le k)$的概率为

2.4 卡方分布

$N$个相互独立随机变量服从标准正态分布，则$N$个随机变量的平方和服从${\chi }^2$分布，记作$X\sim {\chi }^2(n)$,$n$为自由度。概率密度函数为
$$f_k(x)=\frac{(1/2{)}^{k/2}}{\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2},x>0$$
$\Gamma$表示gamma函数。$k$为自由度。

卡方分布累积概率分布为
$$F_k(x)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}$$
其中$\gamma (a,b)$表示不完全gamma函数。

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2.5 Student分布

随机变量$X$服从标准正态分布,$Y$服从${\chi }^2(n)$，则随机变量$Z=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$服从$t$分布，概率密度函数为
$$f_Z(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$

当$n\to \infty$，T分布与正态分布基本一致。

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3.5 F分布

随机变量$X,Y$分别服从${\chi }^2(n_1)$和${\chi }^2(n_2)$，则随机变量$Z=\frac{{\chi }^2(n_1)/n_1}{{\chi }^2(n_2)/n_2}$服从自由度为$(n_1,n_2)$的$F$分布，其pdf为
$$f(z)=\frac{\Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right){\left(\frac{n_1}{n_2}\right)}^{\frac{n_1}{2}}{z}^{\frac{n_1}{2}-1}}{\Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right){\left[1+\frac{n_{1}z}{n_2}\right]}^{\frac{n_1+n_2}{2}}}z>0$$

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