两个重要极限定理：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1\text{\hspace{1em}(1)}$$
和
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e\text{\hspace{1em}(2)}$$

引理(夹逼定理)

定义一：

如果数列 {Xn}\lbrace X_n \rbrace{Xn​}，{Yn}\lbrace Y_n \rbrace{Yn​} 及 {Zn}\lbrace Z_n \rbrace{Zn​} ，满足下列条件：

(1) 当 $n>N_0$ 时，其中 $N_0\in N^{\ast }$ ，有 $Y_n\le X_n\le Z_n$，

(2) {Yn}\lbrace Y_n\rbrace{Yn​}，{Zn}\lbrace Z_n \rbrace{Zn​} 有相同的极限$a$，设 $-\infty <a<+\infty$，则，数列 {Xn}\lbrace X_n \rbrace{Xn​} 的极限存在，且
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{X}_n=a$$
定义二：

$F(x)$ 与 $G(x)$ 在 $X_0$ 连续且存在相同的极限 $A$，即 $x\to X_0$ 时，$\lim F(x)=\lim G(x)=A$，则

若有函数在$f(x)$ 在 $X_0$ 的某领域内恒有 $F(x)\le f(x)\le G(x)$ ，则当 $X$ 趋近 $X_0$， 有
$$\lim F(x)\le \lim f(x)\le limG(x)$$
即
$$A\le limf(x)\le A$$
故
$$\lim (X_0)=A$$
简单地说：函数 $A>B$，函数 $B>C$，函数$A$的极限是$X$，函数 $C$ 的极限也是 $X$ ，那么函数 $B$ 的极限就一定是 $X$，这个就是夹逼定理。

定理 1 证明：

如上图，对于弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}$ ，由于半径 $1$，所以，弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}$ 长 $x$。图片很直观地看出 $\sin x\le x\le \tan x$，并在 $x\to 0$的时候，他们都"相等"。这个是几何直观的，如果我们假设化曲为直是可行的。

所以，

由上述公式，
$$\sin x\le x\le tanx⟺1\le \frac{x}{\sin x}\le \frac{\tan x}{\sin x}⟺1\le \frac{x}{\sin x}\le \frac{1}{\cos x}$$
由上式取倒数得：
$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$$
因为，
$$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$$
所以，
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$
定理 1，得证。

定理2，证明：

首先，证明此极限存在；

构造数列
$$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$$
根据二项式定理，进行展开：
$$\begin{gathered} x_n=C_n^0{1}^n(\frac{1}{n}{)}^0+C_n^1{1}^{n-1}(\frac{1}{n}{)}^1+C_n^2{1}^{n-2}(\frac{1}{n}{)}^2+\cdots +\frac{n(n-1)(n-2)\cdots 1}{n!}{1}^0(\frac{1}{n}{)}^n \\ =1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}) \\ <2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \frac{1}{n!} \\ <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3 \end{gathered}$$
而对于
$$\begin{gathered} x_{n+1}=(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1} \\ =2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots (1-\frac{n}{n+1}) \end{gathered}$$
所以
$$x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots (1-\frac{n}{n+1})>0$$
故，
$$x_{n+1}>x_n$$
该序列为单调递增序列，存在极限，记此极限为 $e$。

对于实数 $x$，则总存在整数 $n$，使得 $n\le x\le n+1$，则有
$$(1+\frac{1}{n+1}{)}^n<(1+\frac{1}{x}{)}^x<(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n+1}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1+\frac{1}{n+1})}{1+\frac{1}{n+1}}=\frac{{\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}}{{\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n+1})}=\frac{e}{1}=e$$

同理，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n})\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$$

故，根据夹逼定理，函数 $f(x)={\lim }_{n\to \infty }frac(1+\frac{1}{x}{)}^x$ 的极限存在，为$e$。