目录

前言

问题二模型的建立与求解

1.2.1 ARIMA时间序列模型的建立与求解

平稳性检验

的时间序列预测模型的建立与求解

​​​​​​​模型的检验

​​​​​​​对于的时间序列预测模型的建立与求解

​​​​​​​模型的检验
​​​​​​​

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前言

SPSS软件的数据分析与GDP和人口老龄化的预测

下图是第七次人口普查的统计报告，显示1953年到2020年间7次人口普查的人口年龄段分布，下表是每次人口普查GDP情况，请用SPSS软件进行数据分析，完成以下题目：

1.分析人口老龄化与GDP增长是否有联系，如果有，请拿出数据进行相关说明；如果没有，请给出理由（65岁以上视为老龄人）。

2.请你根据图和表中所给数据预测第八次人口普查时，中国的人口老龄化情况，并对GDP进行预测（以每次普查为单位）。

每次人口普查的GDP             单位：美元
年份	GDP
1953	314.86亿
1964	597.08亿
1982	2050.9亿
1990	3608.58亿
2000	1.21万亿
2010	6.09万亿
2020	14.72万亿

数据来源：国家统计局

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• 模型的建立与求解
  1. 问题一模型的建立与求解

以GDP为横坐标，人口老龄化比重为纵坐标，画出散点图：

 

图一 GDP与人口老龄化比重的散点图

  利用spss软件分析人口老龄化，即65岁以上所占人口比例与GDP之间的相关性，得出以下结果：

相关性
			人口老龄化比重	GDP
肯德尔 tau_b	人口老龄化比重	相关系数	1.000	.905**
		N	7	7
	GDP	相关系数	.905**	1.000
		N	7	7
斯皮尔曼 Rho	人口老龄化比重	相关系数	1.000	.964**
		N	7	7
	GDP	相关系数	.964**	1.000
		N	7	7
相关性显著

可以得出人口老龄化增长与GDP增长之间相关性显著

1. 假设二者之间符合线性回归模型

即二者之间满足关系式：

利用spss软件进行数据分析，求出系数值：

系数a
模型		未标准化系数		标准化系数	t	显著性
		B	标准错误	Beta
1	(常量)	4.872	.415		11.732	.000
	GDP（万亿美元）	.603	.069	.969	8.774	.000
a. 因变量：人口老龄化比重

可以得出人口老龄化增长与GDP增长之间的函数关系为：

画出回归曲线：

                                                            图二 线性拟合结果

1. 假设二者之间符合非线性回归模型

利用matlab拟合工具箱，拟合出最佳曲线:

                                                                  图三 非线性拟合结果

得出模型表达式为：

进行模型检验：

表一 模型检验结果

稳态误差	多重测定系数	拟合系数	剩余标准差
2.03	0.9712	0.9568	0.7125

因此可认为拟合效果较好。

​​​​​​​问题二模型的建立与求解

1.2.1 ARIMA时间序列模型的建立与求解

  

  列出各年份对应的人口老龄化比重和GDP如下表所示：

表二 各年份对应的人口老龄化比重和GDP

年份	人口老龄化比重	GDP
1953.00	4.41	0.03
1964.00	3.56	0.06
1982.00	4.91	0.21
1990.00	5.57	0.36
2000.00	6.96	1.21
2010.00	8.87	6.09
2020.00	13.50	14.72

​​​​​​​平稳性检验

   画出人口老龄化比重和GDP对应的时序图进行初步检验：

图四 时序图

观察时序推测两项时序图均为非平稳序列，进一步进行Daniel检验.

Spearman相关系数：

 

记人口老龄化比重和GDP对应的时间序列分别为

对于显著水平0.05，由Spearman相关系数计算公式可得两个时间序列均为非平稳序列，因此构造差分序列：

 

画出各一阶差分方程所对应的散点图：

                                                               图五 人口老龄化对应时序图

                                                                       图六 GDP对应时序图

由散点图可知，序列较为平稳，而所在的序列无论进行多少次差分均无法平稳，故对于无法使用时间序列求解

的时间序列预测模型的建立与求解

建立如下的ARIMA模型对进行预测：

利用表中数据，采用最小二乘法计算得出的预测模型为：

则得出第八次人口普查老龄化比重的预估值为：14.41.

​​​​​​​模型的检验

绘出预测模型中的数据与实际数据进行对比：

                                                              图七 人口老龄化预测模型结果

由图可知该模型准确率较高，结果具有可信度

​​​​​​​对于的时间序列预测模型的建立与求解

由于无法直接对使用时间序列求解，但所建模型求解精度较高，故可用第一题拟合方程对进行求解：

代入，可得出的表达式：

得出第八次人口普查的GDP的预估值为18.896（万亿美元）

​​​​​​​模型的检验

图八 GDP预测结果

由图可知由于GDP增长速度逐年增加，国家对于老龄化问题处理的更好，故该结果可信度并不高。即该模型是存在缺陷的