矩形法求解定积分

做个小笔记，如表述有不对的地方，欢迎指正。

原理

积分在图形上表示就是面积，把被积分区域划分成一个个小矩形，求解这些矩形的面积和即可。

被积函数：$f(x)$;

积分区间：$[a,b]$;

积分区间划分数：$N$;

每个小矩形的面积：
$Si=(b-a)/N\ast |f(a+(b-a)/N\ast i)|$

说明：
你可以想象一下，在积分函数图形上，我们把被积分区域划分成$N$等份，

此时每个小矩形的底为：$(b-a)/N$.

如果N足够大，可以把被积分区域划分成一根根针一样大小的矩形区域。

此时小矩形的底可以看成一个点。在被积分区域内，每个小矩形对应的位置

为：$x=a+(b-a)/N\ast i$,将其代入$f(x)$即可得到对应小矩形的高。

假设$i$为第$i$个小矩形 , 则$|f(a+(b-a)/N\ast i)|$即为第$i$块小矩形的高。

所以计算每个小矩形的面积用如上所述的公式。

$f(x)$如果为$cos,sin,exp$等内置函数可以使用C/C++里面的math库，注意这些函数的传参【如果是角度要转换为弧度传入：角度 / 180 * PI 】

例子

求解定积分：${\int }_0^{1}sinxdx$

根据上述公式写出矩形法求解此定积分的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double get_integral_sinx(double a,double b,int N)
{
    /*
    积分区间：[a,b] ，值均是弧度
    积分区间划分数目：N ，越大求得的结果越精细
    被积分函数：sinx
    */
    double x = (b - a) / N;
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        ans += x * fabs(sin(a + x*i));
    }
    return ans;
}
int main()
{
  double ans = get_integral_sinx(0,1,1000);
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}

如果你第一次接触，你难免会对上述做法有点疑虑，怕不可靠。
为了打消你的疑虑，我们结合我们手动求解定积分的方式来一个结果对比验证：

${\int }_0^{1}sinxdx=[-cosx{]}_0^1=1-cos(1)$

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
  cout<<(1-cos(1))<<endl;
  return 0;
}

运行上述两段代码，（运行结果我就不贴了，请自行验证）就可以对比出矩形法求解定积分的可靠性。

其他

我们常常可以使用C/C++里的math库中的一些内置函数来表示我们常用的一些常数。
比如圆周率$PI$:
因为$cos(PI)=-1.0$,所以有：

const double PI = acos(-1.0);

再如：常数$e$,我记得大概是2.7…
$exp(x)$函数是用于计算$e^x$,所以有：

const double e = exp(1.0);