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ARMA
Time Series Analysis
author：zoxiii

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【参考文献】王燕. 应用时间序列分析-第5版[M]. 中国人民大学出版社, 2019.

0-模型

ARMA(p,q)

$$\{\begin{array}{l}{x}_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{x}_{t-1}+...+{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t-{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}-...-{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}\\ {\varphi }_p\ne 0,{\theta }_q\ne 0\\ E({\epsilon }_t)=0,Var({\epsilon }_t)={\sigma }_{\epsilon }^2,E({\epsilon }_t{\epsilon }_s)=0,s\ne t\\ E(x_s{\epsilon }_t)=0,\forall s<t\end{array}$$

中心化ARMA(p,q)

$$x_t={\varphi }_1{x}_{t-1}+...+{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t-{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}-...-{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$$

引入延迟算子B

$$\Phi (B)x_t=\Theta (B){\epsilon }_t$$

1-均值

$$E(x_t)=\frac{{\varphi }_0}{1-{\varphi }_1-...-{\varphi }_p}$$

2-方差

$$Var(x_t)={\sigma }_{\epsilon }^2\sum _{i=0}^{\infty }{G}_i^2$$

3-延迟k自协方差函数

$${\gamma }_k={\sigma }_{\epsilon }^2\sum _{i=0}^{\infty }{G}_i{G}_{i+k}$$

4-延迟k自相关系数

$${\rho }_k=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0}=\frac{{\sum }_{i=0}^{\infty }{G}_i{G}_{i+k}}{{\sum }_{i=0}^{\infty }{G}_i^2}$$

5-延迟k偏自相关系数

拖尾

6-模型比较

模型	ACF	PACF
AR(p)←→ARMA(p,0)	拖尾	p阶截尾
MA(q)←→ARMA(0,q)	q阶截尾	拖尾
ARMA(p,q)	拖尾	拖尾

7-平稳性与可逆性

ARMA(p,q):
$$\Phi (B)x_t=\Theta (B){\epsilon }_t$$
平稳条件：$\Phi (B)=0$的根都在单位圆外

可逆条件：$\Theta (B)=0$的根都在单位圆外

• 当模型平稳且可逆时，它与自相关系数唯一对应

8-传递形式与逆转形式

传递形式

对于一个平稳可逆ARMA(p,q)模型，它的传递形式为：
$$x_t=\frac{\Theta (B)}{\Phi (B)}{\epsilon }_t=\sum _{j=0}^{\infty }{G}_j{\epsilon }_{t-j}$$
其中$G_j$为Green函数，通过待定系数法可得它的递推公式：
$$\{\begin{array}{l}{G}_0=1\\ G_k={\sum }_{j=1}^k{\varphi }_j^{\prime }{G}_{k-j}-{\theta }_k^{\prime },k\ge 1\end{array}$$
其中
$${\varphi }_j^{\prime }=\{\begin{array}{l}{\varphi }_j,1\le j\le p\\ 0,j>p\end{array}{\theta }_k^{\prime }=\{\begin{array}{l}{\theta }_k,1\le k\le q\\ 0,k>q\end{array}$$

逆转形式

对于一个平稳可逆ARMA(p,q)模型，它的逆转形式为：
$${\epsilon }_t=\frac{\Phi (B)}{\Theta (B)}{x}_t=\sum _{j=0}^{\infty }{I}_j{x}_{t-j}$$
其中$I_j$为逆函数，通过待定系数法可得它的递推公式：
$$\{\begin{array}{l}{I}_0=1\\ I_j={\sum }_{j=1}^k{\theta }_j^{\prime }{I}_{k-j}-{\varphi }_k^{\prime },k\ge 1\end{array}$$
其中
$${\varphi }_j^{\prime }=\{\begin{array}{l}{\varphi }_j,1\le j\le p\\ 0,j>p\end{array}{\theta }_k^{\prime }=\{\begin{array}{l}{\theta }_k,1\le k\le q\\ 0,k>q\end{array}$$