最近复习到自动控制理论，对各种信号和其拉氏变换还不太熟悉，推导一下加深印象。

 在描述一个系统或环节运动规律时，微分方程是其数学模型的最基本形式，然而对于一个二阶以上的系统，其微分方程难以得到解，为了便于研究，引入拉普拉斯变换将时域内的微分方程变成S域中的传递函数进行求解。

1.拉普拉斯变换

 首先给出拉普拉斯变换定义式$$L[r(t)]={\int }_0^{\infty }r(t)e^{-st}dt=R(s)$$
其中$r(t)$是关于时间的函数，可以是输入信号。

性质

拉氏变换相对于微分方程的优越性在于其对微分方程中导数和积分量的变换

(1).微分性质：

$${\int }_0^{\infty }{r}^{{}^{\prime }}(t)e^{-st}dt={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}d[r(t)]=e^{-st}r(t){|}_0^{\infty }+s{\int }_0^{\infty }r(t)e^{-st}dt=sR(s)-r(0)$$
由于在自动控制原理中传递函数均为0初始条件，因此最终得到$$L[r^{{}^{\prime }}(t)]=sR(s)$$

(2).积分性质：

$${\int }_0^{\infty }(\int r(t))e^{-st}dt=-\frac{1}{s}{\int }_0^{\infty }(\int r(t))d(e^{-st})=-\frac{1}{s}r(t)e^{-st}{|}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }r(t)e^{-st}dt=\frac{R(s)}{s}+\frac{r(0)}{s}$$
由于在自动控制原理中传递函数均为0初始条件，因此最终得到$$L[\int r(t)]=\frac{R(s)}{s}$$
  有了上述两个定理后，就可以对微分方程进行零初始条件下的拉氏变换，进行S域上的研究。

(3).位移性质：

$$L[r(t-\tau )]={\int }_0^{\infty }r(t-\tau )e^{-st}dt={\int }_{\tau }^{\infty }r(t-\tau )e^{-st}dt$$
又$L[r(t)]={\int }_0^{\infty }r(t)e^{-st}dt=R(s)$
$${\int }_{\tau }^{\infty }r(t-\tau )e^{-st}dt=e^{-s\tau }{\int }_{\tau }^{\infty }r(t-\tau )e^{-s(t-\tau )}d(t-\tau )=e^{-s\tau }{\int }_0^{\infty }r(u)e^{-su}d(u)=e^{-s\tau }R(s)$$
注意性质的正反使用。

2.常用输入信号

首先进行一个归纳：

(1)单位脉冲信号$\delta (t)$

$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}\infty & t=0\\ 0& t\ne 0\end{array}$$
为了便于积分，也可写作下式：
$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }& t=0\\ 0& t\ne 0\end{array}$$
对其进行拉氏变换：
$$L[\delta (t)]={\int }_0^{\infty }\delta (t)e^{-st}dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_0^{\epsilon }\frac{1}{\epsilon }{e}^{-st}dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_0^{\epsilon }-\frac{1}{\epsilon s}d(e^{-st})=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }-\frac{1}{\epsilon s}{e}^{-st}{|}_0^{\epsilon }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon s}(1-e^{-\epsilon s})$$
将$e^{-\epsilon s}$一阶展开展开得$$e^{-\epsilon s}=1-\epsilon s+o(\epsilon s)$$
代入上式得$$L[\delta (t)]=1$$

(2)单位阶跃信号$1(t)$

$$1(t)=\{\begin{array}{ll}1& t>0\\ 0& t\le 0\end{array}$$
进行拉氏变换：
$$L[1(t)]={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt=-\frac{1}{s}{e}^{-st}{|}_0^{\infty }=\frac{1}{s}$$

(3)单位斜坡（速度）信号

$$r(t)=tt\ge 0$$
进行拉氏变换：
$$L[r(t)]={\int }_0^{\infty }t{e}^{-st}dt=-{\int }_0^{\infty }\frac{1}{s}td(e^{-st})=-\frac{1}{s}t{e}^{-st}{|}_0^{\infty }+\frac{1}{s}{\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt=\frac{1}{s^2}$$

(4)单位加速度信号

$$r(t)=\frac{t^2}{2}t\ge 0$$
进行拉氏变换:
$$L[r(t)]=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{t}^2{e}^{-st}dt=-\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{1}{s}{t}^{2}d(e^{-st})=-\frac{1}{2s}{t}^2{e}^{-st}{|}_0^{\infty }+\frac{1}{s}{\int }_0^{\infty }t{e}^{-st}dt=\frac{1}{s^3}$$

(5)正弦信号

$$r(t)=Asinwt$$
根据欧拉公式$e^{jwt}=coswt+jsinwt$
得出$sinwt=\frac{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2j}$
进行拉氏变换：
$$L[r(t)]=\frac{1}{2j}{\int }_0^{\infty }(e^{jwt}-e^{-jwt})e^{-st}dt=\frac{1}{2j}{\int }_0^{\infty }{e}^{(jw-s)t}-e^{-(jw+s)t}dt$$
$$=\frac{1}{2j}[\frac{1}{jw-s}{e}^{(jw-s)t}{|}_0^{\infty }+\frac{1}{jw+s}{e}^{-(jw+s)t}{|}_0^{\infty }]=\frac{1}{2j}(\frac{1}{s-jw}-\frac{1}{s+jw})=\frac{w}{s^2+w^2}$$