复信号频谱

OFDM调制可以得到复基带信号，通过IQ调制发射信号

讨论正交采样（复采样）与信号带宽的关系，首先要确定信号带宽的概念，现在大多信号通过IQ调制发射信号

所提的信号带宽即下面实信号正频率部分的带宽
$$x(t)\cos \left(2\pi f_{c}t\right)-y(t)\sin \left(2\pi f_{c}t\right)$$

根据欧拉公式，我们知道
$$[x(t)+\mathrm{j}y(t)]{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}=[x(t)+\mathrm{j}y(t)]\left[\cos \left(2\pi f_{c}t\right)+\mathrm{jsin}\left(2\pi f_{c}t\right)\right]=x(t)\cos \left(2\pi f_{c}t\right)-y(t)\sin \left(2\pi f_{c}t\right)+\mathrm{j}\left[y(t)\cos \left(2\pi f_{c}t\right)+x(t)\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\right]$$

将等式左半部分取实部
$$\mathcal{R}\left\{[x(t)+\mathrm{j}y(t)]{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}\right\}=x(t)\cos \left(2\pi f_{c}t\right)-y(t)\sin \left(2\pi f_{c}t\right)$$

可以发现IQ调制得到的实信号，相当于复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)通过复载波直接调制，再取实部，如下图所示

我们从复信号出发看下信号频谱变化过程（正弦、余弦和复载波频谱搬移时带来的幅值影响暂不考虑，先默认都是1），从复信号频谱知，复信号可以具有任意频谱结构，复信号谱一般不是对称的。

假设复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡) 在复频率域中频谱如下

复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)频谱幅度如下

复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡) 通过复载波调制后频谱如下

令
$$s(t)=x(t)+\mathrm{j}y(t),2\pi f_{\mathrm{c}}={\omega }_c$$

发射信号
$$s_{\mathrm{RF}}(t)=\Re \left[s(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{c}t}\right]$$

将 $$s_{\mathrm{RF}}(t)=\Re \left[s(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{c}t}\right]=\frac{1}{2}\left[s(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{c}t}+s^{\ast }(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_{c}t}\right]$$

公式两边做傅里叶变换 , 由 于
$$\mathcal{F}\left[s^{\ast }(t)\right]=S^{\ast }(-\omega )和\mathcal{F}\left[s(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{c}t}\right]=S\left(\omega -{\omega }_c\right)$$

得 到 $$S_{\mathrm{RF}}(\omega )=\frac{1}{2}[S(\omega -{\omega }_C)+S^{\ast }\left(-\omega -{\omega }_C\right)]$$

可知对复信号取实部后，实信号𝑠_RF(𝑡)（频谱有共轭对称性，正负频率实部为偶函数，虚部为奇函数），频谱如下图所示，正频率部分频谱幅值为复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡) 频谱幅值的1/2（后续画图先没考虑）

实信号𝑠_RF(𝑡)频谱幅度及带宽B，如下图所示

现在我们知道了通过发射天线发射出去的信号频谱带宽B，如果我们用一个A/D对信号采样，频谱搬移采用下图所示方式，A/D采样率和带宽B一致即可，但频谱发生混叠，采样后得到的信息与原始信息相比不一致。

频谱搬移采用下图所示的方式时，A/D采样率为2B(带宽B的2倍)即可，频谱没有发生混叠，采样后得到的信息与原始信息一致。

下面我们看一下，正交采样（2个A/D）的采样率为什么为复信号的带宽B就可以恢复原信息

I路和Q路的余弦和正弦频率都为f_c，都会将频谱搬移到0中频
$$I路\cos \left(2\pi f_{c}t\right)和Q路-\sin \left(2\pi f_{c}t\right)$$

先看一下上面的余弦和正弦分别对复频率域中的频谱产生怎样的影响

由于之前假设正弦、余弦频谱搬移时带来的幅值影响暂不考虑，先默认都是1
$$\mathcal{F}\left[cos\left(2\pi f_{c}t\right)\right]\Rightarrow \delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)和\mathcal{F}\left[-sin\left(2\pi f_{c}t\right)\right]\Rightarrow j\delta (f-f_c)-j\delta (f+f_c)$$

在频谱上选取两个参考点（f_c,a,b）和（-f_c,a,-b），我们只关心怎样把高频搬到低频处，即：

I路：参考点（f_c,a,b）需要通过𝛿(f+f_c)来搬移，参考点（-f_c,a,-b）需要通过𝛿(f-f_c)来搬移

Q路：参考点（f_c,a,b）需要通过 -j𝛿(f+f_c) 来搬移，参考点（-f_c,a,-b）需要通过 j𝛿(f-f_c) 来搬移，-j和j对频谱还带来了旋转影响，正频率部分的频谱（参考点（f_c,a,b））顺时针旋转90度，负频率部分的频谱（参考点（-f_c,a,-b））逆时针旋转90度

𝑠_RF(𝑡)信号频谱在I路通过𝛿(f+f_c)和𝛿(f-f_c)来搬移且滤波后频谱如下：

沿频率方向侧面看如下

𝑠_RF(𝑡)信号频谱在Q路通过-j𝛿(f+f_c)和j𝛿(f-f_c)来搬移、旋转且滤波后频谱如下：

沿频率方向侧面看如下

我们想得到复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)的频谱，现在知道了𝑥(𝑡)和𝑦(𝑡)的频谱，只需要𝑦(𝑡)的频谱整体逆时针旋转90度，可得到j𝑦(𝑡)的频谱，如下图所示

沿频率方向侧面看如下

𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)的频谱如下

正交采样后的 [ 𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡) ] 的频谱沿频率方向侧面看如下，该抵消的抵消，该叠加的叠加，最终的红色频谱恰好是复载波调制射频之前的 基带复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡) 频谱，也即我们想采样得到的信号频谱

其实从复信号取实部开始，其正负频率处的幅值就变为了原复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)的一半 $$S_{\mathrm{RF}}(\omega )=\frac{1}{2}[S(\omega -{\omega }_C)+S^{\ast }\left(-\omega -{\omega }_C\right)]$$

上图两个红色频谱叠加相当于频谱幅度没变，与原复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)频谱一致。其实我们还没考虑正弦、余弦和复载波进行频谱搬移时，对频谱幅值带来的影响，但频谱幅值的变化并不影响我们得到原始复信号𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡)所携带的信息。

下面看正交采样（复采样）时A/D采样率与复信号带宽的关系

期望频谱不发生混叠，对一个A/D转换器而言，需要为2B(带宽B的2倍)。而上述我们通过正交采样方法，I、Q两路频谱都搬移到0中频，抵消叠加后得到所需 复信号基带𝑥(𝑡)+j𝑦(𝑡) 频谱。

从I路和Q路利用余弦和正弦进行频谱搬移过程和奈奎斯特采样定理可知，正交采样时I路和Q路 直接将信号搬到了0中频，低通滤波器为B/2即可，每个A/D采样率最低为复信号带宽B就不会出现频谱混叠，完整得到原信号所携带的信息。

AD9361通过正交采样获取数据，现在所提的通信信号带宽一般指复信号带宽，理论上AD9361 的I Q两路上AD采样率只需要与复信号带宽B相同即可。