全概率与贝叶斯公式

全概率

之前有说过全概率，某件事A可能会在不同的情况下有不同的概率发生，这些情况相互独立，讲这些概率加和即为全概率。

例如:
高数挂科（10%）的前提下，概率挂科的概率为60%；
高数不挂科（90%）的前提下，概率挂科的概率为5%；
则概率挂科的全概率为：10% * 60% + 90% * 5%
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总结：全概率公式为：P(A)=∑i=1nP(Bi)∗P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^nP(B_i) * P(A|B_i)P(A)=∑i=1n​P(Bi​)∗P(A∣Bi​)

贝叶斯公式

与全概率公式相反的就是贝叶斯公式
用来求一件事发生之后是属于某种情况的概率，本质上是一个条件概率
P(Bi∣A)=P(ABi)P(A)=P(Bi)P(A∣Bi)∑i=1nP(Bi)∗P(A∣Bi)P(B_i|A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{i=1}^nP(B_i) * P(A|B_i)}P(Bi​∣A)=P(A)P(ABi​)​=∑i=1n​P(Bi​)∗P(A∣Bi​)P(Bi​)P(A∣Bi​)​

例题

解题步骤：

  1. 用符号设出概率
  2. 求全概率
  3. 利用贝叶斯公式求条件概率

基础例题1
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基础例题2
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事件独立性

定义

某个事件是否收到其他事件的影响称为事件的独立性。
定义式：P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)

结论

  1. 下面这些命题是等价的

    • 如果AB两个事件独立
    • P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)
    • P(B)=P(B∣A),P(A)>0P(B) = P(B|A) ,P(A) > 0P(B)=P(B∣A),P(A)>0
    • P(B∣A)=P(B∣Aˉ),P(A)≠0,P(A)≠1P(B|A) = P(B|\bar A),P(A)\not=0,P(A)\not=1P(B∣A)=P(B∣Aˉ),P(A)=0,P(A)=1
    • P(A∣B)=P(A∣Bˉ),P(B)≠0,P(B)≠1P(A|B) = P(A|\bar B),P(B)\not=0,P(B)\not=1P(A∣B)=P(A∣Bˉ),P(B)=0,P(B)=1

  2. 如果A与B相互独立
    那么A与BˉA与\bar BA与Bˉ，Aˉ与B\bar A与BAˉ与B，Aˉ与Bˉ\bar A与\bar BAˉ与Bˉ都相互独立

  3. 如果P(A)>0,P(B)>0P(A)>0,P(B)>0P(A)>0,P(B)>0
    那么A与B相互独立，A与B互不相容不能同时成立

    • 相互独立指两个事件不共用一个样本空间
    • 互不相容指在同一个样本空间中两件事不能同时发生

  4. 必然事件、不可能事件与任何事件都相互独立

例题

基础例题
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# 概率论
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