在Markdown语法中，数学公式采用“$"符号包裹。

• 如果是单行公式，格式为：

$数学公式$

• 如果是多行公式，格式为：

$$
数学公式
...
$$

在typora中使用公式请勾选：

数学运算符号

加号：$+$
减号：$-$
乘号：$\times$
点乘：$·$ 或 $\cdot$
除号：$\div$
加减号：$\pm$
减加号：$\mp$
等于：$=$
不等于：$\neq$
小于：$<$
小于等于：$\leq$
大于：$>$
大于等于：$\geq$
约等于：$\approx$
恒等于：$\equiv$

渲染后结果如下：
加号：$+$
减号：$-$
乘号：$\times$
点乘：$\cdot$ 或 $\cdot$
除号：$÷$
加减号：$\pm$
减加号：$\mp$
等于：$=$
不等于：$\ne$
小于：$<$
小于等于：$\le$
大于：$>$
大于等于：$\ge$
约等于：$\approx$
恒等于：$\equiv$

---

应用：

$y= x + 1$
$3\times 2 = 6$
$9.999\approx 10$

渲染结果如下:
$y=x+1$
$3\times 2=6$
$9.999\approx 10$

---

长空格

$\quad$
不带有长空格：$y= x + 1 x=1$ （容易产生误解）
带有长空格：$y= x + 1\quad x=1$

$\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}\quad \sum_{i=1}^{n}{(X_i - \overline{X})^2}$

不带有长空格：$y=x+1x=1$（容易产生误解）
带有长空格：$y=x+1x=1$

$\frac{d}{dx}{e}^{ax}=a{e}^{ax}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$

分数

小字体分数：$\frac{1}{2}$
大字体分数：$\dfrac{1}{2}$
分数其他表示：${x+y} \over {y+z}$

渲染结果如下：
小字体分数：$\frac{1}{2}$

大字体分数：$\frac{1}{2}$
分数其他表示：$\frac{x+y}{y+z}$

角标

上角标：$2^1$
下角标：$a_1$
当角标不止一位时要加{}
$2^{n+1}$
$A_{mn}$

渲染结果如下：
上角标：$2^1$
下角标：$a_1$
当角标不止一位时要加{}
$2^{n+1}$
$A_{mn}$

---

应用：

$3^3$

$a^2$

$X_m$

$a_1^4+a_2^2$

组合数；$C_m^n$

组合数：$C_{100}^{50}$

渲染结果如下：
$3^3$

$a^2$

$X_m$

$a_1^4+a_2^2$

组合数；$C_m^n$

组合数：$C_{100}^{50}$

---

Take $m+n$ balls from $a+b$ balls, and there are $C_{a+b}^{m+n}$ ways to take them. Take $m$ balls from $a$ white balls, and there are $C_{a}^m$ ways to take them. Take $n$ balls from $b$ black balls, there are $C_{b}^n$ ways to take them. So, there are $C_{a}^mC_{b}^n$ ways to take $m$ white balls and $n$ black balls from the $a+b$ balls. Therefore, the probability that there are exactly $m$ white balls and $n$ black balls in any $m+n$ balls taken from the box ($m\leq a,n\leq b$) is $p_1=\dfrac{C_{a}^mC_{b}^n}{C_{a+b}^{m+n}}$.

渲染效果如下：
Take $m+n$ balls from $a+b$ balls, and there are $C_{a+b}^{m+n}$ ways to take them. Take $m$ balls from $a$ white balls, and there are $C_a^m$ ways to take them. Take $n$ balls from $b$ black balls, there are $C_b^n$ ways to take them. So, there are $C_a^m{C}_b^n$ ways to take $m$ white balls and $n$ black balls from the $a+b$ balls. Therefore, the probability that there are exactly $m$ white balls and $n$ black balls in any $m+n$ balls taken from the box ($m\le a,n\le b$) is $p_1=\frac{C_a^m{C}_b^n}{C_{a+b}^{m+n}}$.

---

上下划线

上划线：$\overline{A}$
下划线：$\underline{B}$

渲染结果如下：
上划线：$\overline{A}$
下划线：$\underline{B}$

无穷大

无穷大：$\infty$
正无穷大：$+\infty$
负无穷大：$-\infty$

渲染结果如下：
无穷大：$\infty$
正无穷大：$+\infty$
负无穷大：$-\infty$

求和符号、累乘符号、余积符号

求和符号：$\sum$
累乘符号：$\prod$

余积符号：$\coprod$

求和符号：$\sum$
累乘符号：$\prod$

余积符号：$\coprod$

$\sum_{i=1}^{i=n}a_i$

${\sum }_{i=1}^{i=n}{a}_i$

集合运算

属于符号：\in，如：$x \in y$

属于符号：\in，如：$x\in y$

不属于符号：\notin，如：$x \notin y$

不属于符号：\notin，如：$x\notin y$

包含于符号：\subset，如：$x \subset y$
包含符号：\supset，如：$x \supset y$
子集符号：\subseteq，如：$x \subseteq y$
子集符号：\supseteq，如：$x \supseteq y$

包含于符号：\subset，如：$x\subset y$
包含符号：\supset，如：$x\supset y$
子集符号：\subseteq，如：$x\subseteq y$
子集符号：\supseteq，如：$x\supseteq y$

真子集符号：\subsetneq，如：$x \subsetneq y$

真子集符号：\supsetneq，如：$x \supsetneq y$

真子集符号：\subsetneq，如：$x⊊y$

真子集符号：\supsetneq，如：$x⊋y$

不包含于符号：\not\subset，如：$x \not\subset y$
不包含符号：\not\supset，如：$x \not\supset y$

不包含于符号：\not\subset，如：$x\not\subset y$
不包含符号：\not\supset，如：$x\not\supset y$

交集符号：\cap，如：$A\cap B$
并集符号：\cup，如：$A\cup B$
差集符号：\setminus，如：$A\setminus B$
差集符号也可直接用减号：$A-B$

交集符号：\cap，如：$A\cap B$
并集符号：\cup，如：$A\cup B$
差集符号：\setminus，如：$A\setminus B$
差集符号也可直接用减号：$A-B$

---

空集：$\empty$
空集：$\varnothing$

---

上下位符号

上位符号：
$\stackrel{上位内容}{进行上位的符号}$
$\stackrel{n}{\bigcup}$

$\bigcup ^n$

下位符号：
$\bigcup\limits_{i=1}$

$\bigcup _{i=1}$

上下位结合在一起就是：
$\stackrel{n}{\bigcup\limits_{i=1}}$

$\stackrel{n}{\bigcup _{i=1}}$

求和符号 \sum 上下位结合在一起就是：
$\stackrel{n}{\sum\limits_{i=1}}$

$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}$

注意：
交集(\cap)进行上下位时要变为 “\bigcap”
并集同理。

$\stackrel{n}{\bigcap\limits_{i=1}}$

$\stackrel{n}{\bigcap _{i=1}}$

圆括号

$() \big(\big) \Big(\Big) \bigg(\bigg) \Bigg(\Bigg)$

$\big(\big)$ 

$\Big(\Big)$ 

$\bigg(\bigg)$

$\Bigg(\Bigg)$

$()\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)$
$()$

$\left(\right)$

$\left(\right)$

$\left(\right)$

$\left(\right)$

省略号

$\dots$
$a_1,a_2,\dots,a_n$

渲染结果如下：
$\dots$
$a_1,a_2,\dots ,a_n$

---

应用

$x_1^1+x_2^2+x_3^3+\cdots+x_n^n$

$x_1^1+x_2^2+x_3^3+\cdots +x_n^n$

$A-B=A\overline{B}=A-AB.$
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

渲染结果如下：
$A-B=A\overline{B}=A-AB.$
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

Commutative law 交换律 ：$A\cup B=B\cup A,\quad A\cap B=B\cap A;$
Associative law 结合律 ：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\quad A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
Distributive law 分配律 ：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),\quad A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 
The distribution law is extended to the case of infinite or countable infinity ：

$A\cap (\stackrel{n}{\bigcup\limits_{i=1}}A_i)=\stackrel{n}{\bigcup\limits_{i=1}}(A\cap A_i),\quad A\cup (\stackrel{n}{\bigcap\limits_{i=1}}A_i)=\stackrel{n}{\bigcap\limits_{i=1}}(A\cup A_i);$

$A\cap (\stackrel{\infty}{\bigcup\limits_{i=1}}A_i)=\stackrel{\infty}{\bigcup\limits_{i=1}}(A\cap A_i),\quad A\cup (\stackrel{\infty}{\bigcap\limits_{i=1}}A_i)=\stackrel{\infty}{\bigcap\limits_{i=1}}(A\cup A_i).$

渲染结果如下：
Commutative law 交换律 ：$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A;$
Associative law 结合律 ：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
Distributive law 分配律 ：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
The distribution law is extended to the case of infinite or countable infinity ：

$A\cap (\stackrel{n}{\bigcup _{i=1}}{A}_i)=\stackrel{n}{\bigcup _{i=1}}(A\cap A_i),A\cup (\stackrel{n}{\bigcap _{i=1}}{A}_i)=\stackrel{n}{\bigcap _{i=1}}(A\cup A_i);$

$A\cap (\stackrel{\infty }{\bigcup _{i=1}}{A}_i)=\stackrel{\infty }{\bigcup _{i=1}}(A\cap A_i),A\cup (\stackrel{\infty }{\bigcap _{i=1}}{A}_i)=\stackrel{\infty }{\bigcap _{i=1}}(A\cup A_i).$

For a finite or countable infinite number of events $A_i$, there is  always :

$\overline{\stackrel{n}{\bigcup\limits_{i=1}}A_i}=\stackrel{n}{\bigcap\limits_{i=1}}\overline{A_i},\quad \overline{\stackrel{n}{\bigcap\limits_{i=1}}A_i}=\stackrel{n}{\bigcup\limits_{i=1}}\overline{A_i};$

$\overline{\stackrel{\infty}{\bigcup\limits_{i=1}}A_i}=\stackrel{\infty}{\bigcap\limits_{i=1}}\overline{A_i},\quad \overline{\stackrel{\infty}{\bigcap\limits_{i=1}}A_i}=\stackrel{\infty}{\bigcup\limits_{i=1}}\overline{A_i}.$ 

渲染结果如下：
For a finite or countable infinite number of events $A_i$, there is always :

$\overline{\stackrel{n}{\bigcup _{i=1}}{A}_i}=\stackrel{n}{\bigcap _{i=1}}\overline{A_i},\overline{\stackrel{n}{\bigcap _{i=1}}{A}_i}=\stackrel{n}{\bigcup _{i=1}}\overline{A_i};$

$\overline{\stackrel{\infty }{\bigcup _{i=1}}{A}_i}=\stackrel{\infty }{\bigcap _{i=1}}\overline{A_i},\overline{\stackrel{\infty }{\bigcap _{i=1}}{A}_i}=\stackrel{\infty }{\bigcup _{i=1}}\overline{A_i}.$

---

根号

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x+y}$

$\sqrt[x]{y}$

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x+y}$

$\sqrt[x]{y}$

对数

$\ln$
$\ln e = 1$
$\lg$
$\lg10=1$
$\log$
$\log_23$
$\log_2{3}$
$\log_2 3$
$\log_{23}23=1$
对数的平方：$(\log_53)^2$ 或 $\log_5^2 3$
$\log_2(xy)$

渲染结果如下：
$\ln$
$\ln e=1$
$\lg$
$\lg 10=1$
$\log$
${\log }_{2}3$
${\log }_{2}3$
${\log }_{2}3$
${\log }_{23}23=1$
对数的平方：$({\log }_{5}3{)}^2$ 或 ${\log }_5^{2}3$
${\log }_2(xy)$

积分

积分：$\int$
双重积分：$\iint$
三重积分：$\iiint$
$\oint$
$\mathrm{d}$
$\partial$
...

积分：$\int$
双重积分：$\iint$
三重积分：$\iiint$
$\oint$
$\mathrm{d}$
$\partial$
…

$\lim$

$\lim$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}x$

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}$

${\lim }_{x\to +\infty }x$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$

---

$\int^3_1x^2{\rm d}x$

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}|_{x=0}$

${\int }_1^3{x}^2\mathrm{d}x$

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}{|}_{x=0}$

逻辑符号

因为：$\because$
所以：$\therefore$

因为：$\because$
所以：$\therefore$

同或符号：\bigodot，如：$x \bigodot y$
异或符号：\bigotimes，如：$x \bigotimes y$
张量积或笛卡尔积：\bigotimes，如：$\bigotimes$

同或符号：\bigodot，如：$x⨀y$
异或符号：\bigotimes，如：$x⨁y$
张量积或笛卡尔积：\bigotimes，如：$⨂$

蕴含：$\rightarrow$
任意或存在：$\forall \quad \exist$

蕴含：$\to$
任意或存在：$\forall \exists$

箭头

左箭头:$\leftarrow$
右箭头:$\rightarrow$

左箭头:$\leftarrow$
右箭头:$\to$

上箭头：$\uparrow$
下箭头：$\downarrow$

上箭头：$\uparrow$
下箭头：$\downarrow$

上双箭头：$\Uparrow$
下双箭头：$\Downarrow$

上双箭头：$\Uparrow$
下双箭头：$\Downarrow$

右双箭头：$\Rightarrow$
左双箭头：$\Leftarrow$

右双箭头：$\Rightarrow$
左双箭头：$\Leftarrow$

右长箭头：$\longrightarrow$
左长箭头：$\longleftarrow$
右长双箭头：$\Longrightarrow$
左长双箭头：$\Longleftarrow$

右长箭头：$⟶$
左长箭头：$⟵$
右长双箭头：$⟹$
左长双箭头：$⟸$

三角函数

$\sin$

$\cos$

$\tan$

$\cot$

$\sec$

$\csc$

$\sin$

$\cos$

$\tan$

$\cot$

$\sec$

$\csc$

垂直：$\bot$
夹角：$\angle$
角度：$30^\circ$

垂直：$\perp$
夹角：$\angle$
角度：$30^{\circ }$

给公式编号

在CSDN中后面这个公式的语法会报错，但在typora中不会：$e^{i\theta}=cos\theta+i\sin\theta \tag{1}$$

$$e^{i\theta }=cos\theta +i\sin \theta \text{\hspace{1em}(1)}$$
\tag{1}就是编号1的意思。

其他省略号

靠下的省略号：$\dots$
靠中间的省略号：$\cdots$
竖向省略号：$\vdots$

斜向省略号：$\ddots$

靠下的省略号：$\dots$
靠中间的省略号：$\cdots$
竖向省略号：$⋮$

斜向省略号：$\ddots$

行列式

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

矩阵

$$
\left[\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right]
$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

$$
\left[\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right]\tag{10}
$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
\tag{10}给公式编号为10。

$$
\begin{equation}
S
=\begin{bmatrix}
A  &  B  & \cdots\ &C\\
D  &  E  & \cdots\ & F\\
 \vdots   & \vdots & \ddots  & \vdots  \\
 G & H  & \cdots\ & I\\
\end{bmatrix}
\end{equation}
$$

$$\begin{array}{c}S=\left[\begin{array}{cccc}A& B& \cdots & C\\ D& E& \cdots & F\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ G& H& \cdots & I\end{array}\right]\end{array}$$

$\left( \begin{matrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\ 1 & x_{11} & x_{12} & \cdots &x_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{11} & x_{12} & \cdots &x_{1p} \end{matrix} \right)$

$\left(\begin{array}{ccccc}1& x_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1p}\\ 1& x_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1p}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1p}\end{array}\right)$

---

在typora中连续打两个美元符号，按下回车触发数学公式输入：

向量

$\vec{a}$

$\vec{AB}$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1$

$\vec{a}$

$\overrightarrow{AB}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$

---

花括号、上下花括号、取整

或括号需要使用反斜杠“\”转义。

$\{\}$

{ } \{\} {}

$\lbrace a+b\rbrace$

$\langle2+4\rang$

上取整,不管四舍五入的规则,只要后面有小数前面的整数就加1：

$\lceil\frac{x}{2}\rceil$

下取整：

$\lfloor x\rfloor$

$\lbrace\sum_{i=0}^{n}i^2=\frac{2a}{x^2+1}\rbrace$

$\left\lbrace\sum_{i=0}^{n}i^2=\frac{2a}{x^2+1}\right\rbrace$

{ a + b } \lbrace a+b\rbrace {a+b}

$⟨2+4⟩$

上取整,不管四舍五入的规则,只要后面有小数前面的整数就加1：

$\lceil \frac{x}{2}\rceil$

下取整：

$\lfloor x\rfloor$

{ ∑ i = 0 n i 2 = 2 a x 2 + 1 } \lbrace\sum_{i=0}^{n}i^2=\frac{2a}{x^2+1}\rbrace {∑i=0n​i2=x2+12a​}

$\left\{{\sum }_{i=0}^n{i}^2=\frac{2a}{x^2+1}\right\}$

---

$\overbrace{a+b+c+d}^{2.0}$

$\underbrace{1+2+3+\dots+n}_{n}$

$\stackrel{2.0}{\overbrace{a+b+c+d}}$

$\underset{n}{\underbrace{1+2+3+\cdots +n}}$

Let event A include $k$ basic events, that is $A=\{\omega_{i_1}\}\cup \{\omega_{i_2}\}\cup\dots\cup\{\omega_{i_k}\}$, then there is

$P(A)=P(\{\omega_{i_1}\}\cup \{\omega_{i_2}\}\cup\dots\cup \{\omega_{i_k}\}$

$=P\{\omega_{i_1}\}+ P\{\omega_{i_2}\}+\dots+P\{\omega_{i_k}\}$

$=\underbrace{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\dots+\dfrac{1}{n}}_{k}=\dfrac{k}{n}$.

渲染效果如下：
Let event A include $k$ basic events, that is A = { ω i 1 } ∪ { ω i 2 } ∪ ⋯ ∪ { ω i k } A=\{\omega_{i_1}\}\cup \{\omega_{i_2}\}\cup\dots\cup\{\omega_{i_k}\} A={ωi1​​}∪{ωi2​​}∪⋯∪{ωik​​}, then there is

P ( A ) = P ( { ω i 1 } ∪ { ω i 2 } ∪ ⋯ ∪ { ω i k } P(A)=P(\{\omega_{i_1}\}\cup \{\omega_{i_2}\}\cup\dots\cup \{\omega_{i_k}\} P(A)=P({ωi1​​}∪{ωi2​​}∪⋯∪{ωik​​}

= P { ω i 1 } + P { ω i 2 } + ⋯ + P { ω i k } =P\{\omega_{i_1}\}+ P\{\omega_{i_2}\}+\dots+P\{\omega_{i_k}\} =P{ωi1​​}+P{ωi2​​}+⋯+P{ωik​​}

$=\underset{k}{\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}}}=\frac{k}{n}$.

希腊字母

多个式子组合

$$
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d r}{d \omega^{\prime}}&=\frac{v}{f \omega^{\prime}} \\
\frac{d v}{d \omega^{\prime}}&=\frac{(F / m) \sin \psi-g / r^{2}+r_{\omega^{2}}}{f \omega^{\prime}} \\
\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} \omega^{\prime}}&=\frac{\omega}{f \omega}\\
\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} \omega^{\prime}}&=-1 \\
\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} \omega^{\prime}}&=-\frac{F}{I_{\mathrm{sp}}} \cdot \frac{1}{f \omega^{\prime}}
\end{aligned}
\right.
$$

渲染效果如下：
$$\{\begin{array}{rl}\frac{dr}{d{\omega }^{\prime }}& =\frac{v}{f{\omega }^{\prime }}\\ \frac{dv}{d{\omega }^{\prime }}& =\frac{(F/m)\sin \psi -g/r^2+r_{{\omega }^2}}{f{\omega }^{\prime }}\\ \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}{\omega }^{\prime }}& =\frac{\omega }{f\omega }\\ \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}{\omega }^{\prime }}& =-1\\ \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}{\omega }^{\prime }}& =-\frac{F}{I_{\mathrm{sp}}}\cdot \frac{1}{f{\omega }^{\prime }}\end{array}$$