阵列导向矢量（Steering vector）详细推导

在毫米波信道模型中，常见的建模方式为Saleh-Valenzuela信道模型，其涉及天线阵列的导向矢量，其实描述的是相邻接收天线之间的信号相位差，相位差进一步通过路程差反应出来，本文推导出均匀线阵（ULA）和均匀平面阵（UPA）天线阵列的steering vector:

ULA：

相邻天线间的间距为$d$,入射夹角为$\theta$,则路程差如图为$d\ast sin(\theta ）$,相位差则为$2\pi dsin(\theta )/\lambda$,以左边第一个天线为参考点，steering vector 表示为：
$$a=[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \left(\theta \right)},...,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(N-1\right)\sin \left(\theta \right)}{]}^T$$
其中$N$为天线个数。

UPA：

结论如下：对于长为$N_Z$,宽为$N_Y$的UPA天线，其对应方位角为$\phi$，仰角为$\theta$,相邻天线间间距为$d$,其导向矢量为$a=a_z\otimes a_y$，其中：
$$a_z=[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \left(\theta \right)},...,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(N_Z-1\right)\sin \left(\theta \right)}{]}^T$$
$$a_y=[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \left(\phi \right)\cos \left(\theta \right)},...,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(N_Y-1\right)\sin \left(\phi \right)\cos \left(\theta \right)}{]}^T$$
Remark: 由于方位角及仰角的定义不同，阵列矢量通常不同，视情况而定。

推导如下：