在信号处理系统中，我们都应该知道信号的时宽带宽积是一个常数，但为什么是常数呢？好像很多同学并没有去深究，今天我们就来看一下这个问题。

  如果分别用$w(n)$和$W(w)$表示信号的时域和频域，那么可以用$\Delta (w)$和$\Delta (W)$来分别衡量它们的宽度，我们分别称它们为有效时域半径和有效频域半径。数值$2\Delta (w)$和$2\Delta (W)$称为有效时刻和有效频宽，并用$E(w)$和$E(W)$表示它们的中心。这里中心和半径分别表示为：

$$E(w)=\frac{{\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }n|w(n){|}^2}{\Vert w{\Vert }_2^2}$$

$$\Delta (w)=\sqrt{\frac{{\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }(n-E(w){)}^2|w(n){|}^2}{\Vert w{\Vert }_2^2}}$$

$$E(W)=\frac{{\sum }_{\omega =-\infty }^{+\infty }\omega {\left|W\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega }\right)\right|}^2}{\Vert W{\Vert }_2^2}$$

$$\Delta (W)=\sqrt{\frac{{\sum }_{\omega =-\infty }^{\infty }(\omega -E(W){)}^2{\left|W\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega }\right)\right|}^2}{\Vert W{\Vert }_2^2}}$$

扫盲：|| ||右下角的2表示2次范数

  我们所说的时宽带宽积是常数其实被称为“不确定原理”：
若$w(n)$及其傅里叶变换$W(w)$满足窗口函数的条件，则

$$\Delta (w)\Delta (W)⩾\frac{1}{2}$$

等号成立的充分必要条件是$w(n)$为高斯函数，即$w(n)=A{e}^{-a{n}^2}$。

证明过程如下：

  如果将$w(n)$的导函数的傅里叶变换记为$W^{\prime }(\omega )$，那么由傅里叶变换的性质可以得到：

$$W^{\prime }(\omega )=(j\omega )W(\omega )$$

再由柯西-施瓦茨不等式得：

$$\begin{array}{l}\begin{array}{rl}(\Delta (w)\Delta (W){)}^2& =\frac{1}{\Vert w{\Vert }_2^2}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{n}^2|w(n){|}^2\cdot \frac{1}{\Vert W{\Vert }_2^2}\sum _{\omega =-\infty }^{+\infty }{\omega }^2|W(\omega ){|}^2\\ & =\frac{{\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }{n}^2|w(n){|}^2\cdot {\sum }_{\omega =-\infty }^{+\infty }{\left|W^{\prime }(\omega )\right|}^2}{\Vert w{\Vert }_2^2\cdot \Vert W{\Vert }_2^2}\\ & ⩾\frac{1}{\Vert w{\Vert }_2^4{\left|{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }nw(n)w^{\prime }(n)\right|}^2}\\ & =\frac{1}{\Vert w{\Vert }_2^4}{\left(\frac{1}{2}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|w(n){|}^2\right)}^2=\frac{1}{4}\end{array}\end{array}$$

所以，
$$\Delta (w)\Delta (W)⩾\frac{1}{2}$$

等式成立的条件就是柯西-施瓦茨不等式成为等式的条件。

因此我们可以知道，对于给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。

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