酉空间是定义在复数域上的内积空间。

由于在复数中，i2=−1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">i^2 = -1</script>，为了使内积为正，需要在转置中加入了共轭的操作。这是酉空间与实数域的欧氏空间的主要区别。二者有一套平行的理论。

定义

（1）酉空间：复数域上的 V<script type="math/tex" id="MathJax-Element-91">V</script> 定义两向量到复数的对应关系 (x,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-92">(x,y)</script>，满足交换律（(x,y)=(y,x)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯<script type="math/tex" id="MathJax-Element-93">(x,y) = \overline{(y,x)}</script>）、分配率、齐次性（(kx,y)=k(x,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-94">(kx,y) = k(x,y)</script>，但 (x,ky)=k⎯⎯(x,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-95">(x,ky) = \overline{k}(x,y)</script>）、非负性，称为内积，V<script type="math/tex" id="MathJax-Element-96">V</script> 称为复内积空间或酉空间；
（2）正规矩阵：A∈Cn×n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-97">A\in C^{n\times n}</script> 且 AHA=AAH<script type="math/tex" id="MathJax-Element-98">A^HA = AA^H</script>。易知正交阵、酉矩阵、对角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵都是正规矩阵；
（3）谱分解：由以下定理三，对于 Hermite 矩阵 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-99">A</script>，存在酉矩阵 P<script type="math/tex" id="MathJax-Element-100">P</script> 使 PHAP=Λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-101">P^HAP = \Lambda</script>。所以 A=PΛPH=λ1(p1pH1)+⋯+λn(pnpHn)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-102">A = P\Lambda P^H = \lambda_1(p_1 p_1^H) + \cdots + \lambda_n (p_n p_n^H)</script>；
（4）对应关系：① 共轭转置 →对应<script type="math/tex" id="MathJax-Element-103">\rightarrow^{\text{对应}}</script> 转置，② Hermite 变换 →对应<script type="math/tex" id="MathJax-Element-104">\rightarrow^{\text{对应}}</script> 对称变换，③ Hermite 矩阵 →对应<script type="math/tex" id="MathJax-Element-105">\rightarrow^{\text{对应}}</script> 对称矩阵，④ 酉变换 →对应<script type="math/tex" id="MathJax-Element-106">\rightarrow^{\text{对应}}</script> 正交变换，⑤ 酉矩阵→对应<script type="math/tex" id="MathJax-Element-107">\rightarrow^{\text{对应}}</script> 正交矩阵。

定理

（1）定理一：由内积定义，可直接得到：
   ① (x,ky)=k⎯⎯(x,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-524">(x,ky) = \overline{k}(x,y)</script>.
   ② (x,0)=(0,x)=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-525">(x,0) = (0,x) = 0</script>.
   ③ (∑ni=1ξixi, ∑ni=1ηiyi)=∑ni=1ξiη⎯⎯i(xi,yi)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-526">(\sum_{i=1}^n \xi_i x_i,\ \sum_{i=1}^n \eta_i y_i) = \sum_{i=1}^n \xi_i \overline{\eta}_i (x_i,y_i)</script>.
   ④ 模：∥x∥=(x,x)‾‾‾‾‾√<script type="math/tex" id="MathJax-Element-527">\|x\| = \sqrt{(x,x)}</script>.
   ⑤ 三角不等式：(x,y)(y,x)≤(x,x)(y,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-528">(x,y)(y,x) \leq (x,x)(y,y)</script>，仅当 x,y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-529">x,y</script> 线性相关时等号成立.
   ⑥ 夹角：cos2<x,y>=(x,y)(y,x)(x,x)(y,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-530">\cos^2 = \frac{(x,y)(y,x)}{(x,x)(y,y)}</script>，当 (x,y)=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-531">(x,y)=0</script> 时称二者正交/垂直.
   ⑦ 正交化：任意线性无关向量组可通过 Schmidt 正交化方法正交化.
   ⑧ 正交基：任意非零酉空间都存在正交基和标准正交基.
   ⑨ 直和：任意 Vn<script type="math/tex" id="MathJax-Element-532">V^n</script> 均为其子空间 V1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-533">V_1</script> 与 V⊥1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-534">V_1^{\perp}</script> 的直和.
   ⑩ 酉变换： (x,x)=(Tx,Tx) (x∈V)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-535">(x,x) = (Tx,Tx)\ (x\in V)</script>.
   ⑪ 酉变换充要条件： T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-536">T</script> 是酉变换的充要条件是对任意 x,y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-537">x,y</script> 都有 (x,y)=(Tx,Ty)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-538">(x,y) = (Tx,Ty)</script>.
   ⑫ 酉矩阵：酉变换在酉空间的 标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即 AHA=AAH=I<script type="math/tex" id="MathJax-Element-539">A^HA = AA^H = I</script>.
   ⑬ 酉矩阵运算：酉矩阵的逆矩阵、乘积仍是酉矩阵.
   ⑭ Hermite 变换： (Tx,y)=(x,Ty) (x,y∈V)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-540">(Tx,y) = (x,Ty)\ (x,y\in V)</script>，也称为酉对称变换.
   ⑮ Hermite 矩阵：Hermite 变换在 标准正交基下的矩阵为 Hermite 矩阵，即 AH=A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-541">A^H = A</script>.
   ⑯ 特征值：Hermite 矩阵的特征值都是实数.
   ⑰ 特征向量正交：Hermite 矩阵的不同特征值的特征向量必定正交.

注意：(x,y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-542">(x,y)</script> 与 (y,x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-543">(y,x)</script> 互为共轭。

（2）定理二：（Schur 定理）① 任一复矩阵必酉相似于三角阵，对角元素为其 n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-544">n</script> 个特征值，② 任一实矩阵必正交相似于三角阵，对角元素为其 n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-545">n</script> 个特征值；

（3）定理三：① A∈Cn×n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-546">A\in C^{n\times n}</script>，则 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-547">A</script> 酉相似于对角阵的充要条件是 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-548">A</script> 为正规矩阵，② A∈Rn×n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-549">A\in R^{n\times n}</script>，且 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-550">A</script> 的特征值都是实数，则 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-551">A</script> 正交相似于对角阵的充要条件是 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-552">A</script> 为正规矩阵；

（4）推论一：实对称矩阵正交相似于对角矩阵；
（5）推论二：设 T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-553">T</script> 是欧氏空间的对称变换，则 Vn<script type="math/tex" id="MathJax-Element-554">V^n</script> 中存在标准正交基使 T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-555">T</script> 在该基下的矩阵为对角阵。

证明

（1）证明定理三：必要性略。充分性，由定理二知 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-51">A</script> 酉相似于三角阵 PHAP=B<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">P^H AP = B</script>，带入 BHB=BBH<script type="math/tex" id="MathJax-Element-53">B^H B = BB^H</script> 得除对角元素外均为零，即 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">A</script> 酉相似于对角阵；
（2）证明推论二：注意到 T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">T</script> 在某基下的 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-56">A</script> 正交相似于对角阵即 QTAQ=Λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">Q^T AQ = \Lambda</script>，取过渡矩阵为 Q<script type="math/tex" id="MathJax-Element-58"></script> 换到另一组基即可。