这个总结文章本来是学完复变函数之后的复习总结，打印应付考试用的，后来假期里面又添加了一些公式、注意点什么的，稍稍完善了一些。

本文主要整理自我的复变函数老师的课件和作业、相关教材和上课笔记，不做商用，侵删。

一方面考虑到当初我学习的时候四处查资料的痛苦，就想服务一下学习复变的孩子们，另一方面也想整理一个合集，方便后面课程学习时查找（比如电磁波），还有就是想要鞭策自己啦，别再咕咕咕了。

手打公式难免有些小问题，如果有什么错误欢迎大家指正哈，评论或者私信都可以。

这一篇包含复变函数的主要内容，包括：

• 复数及其运算，复变函数及其性质
• 解析函数，导数
• 柯西积分定理，柯西积分公式
• 幂级数和泰勒级数
• 洛朗级数
• 留数定理

一、复变函数

复数和复变函数

复数及运算

复数的表示：

• $z=x+iy$
• $z=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$
• $z=\rho e^{i\phi }$

$\rho$是复数的模，$\phi =Argz=argz+2k\pi$是复数的辐角。

共轭复数：$z^{\ast }=x-iy=\rho e^{-i\phi }$

复数的运算：

1. 加法
   $$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$$
   有三角不等式：
   $$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$$

2. 减法
   $$z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$$
   有三角不等式：
   $$|z_1-z_2|\ge |z_1|-|z_2|$$

3. 乘法
   $$z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$$

   $$z_1{z}_2={\rho }_1{\rho }_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$$

4. 除法
   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}$$

5. 乘方
   $$z^n={\rho }^n{e}^{in\phi }$$

6. 开方
   $$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho }{e}^{i\frac{\phi }{n}}$$

注：在计算复数的开方时，要注意将辐角$\phi$写成$argz+2k\pi$的形式，便于确定最终开方后得到的复数的个数。

复变函数及性质

1. 几个常见的初等复变函数：

$$\begin{array}{rl}& e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\\ & \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}),\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\\ & shz=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}),chz=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\\ & \ln z=\ln (|z|e^{iArgz})=\ln |z|+iArgz\\ & z^s=e^{s\ln z}\end{array}$$

2. 复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$可以归结为对应于一对二元实变函数。

解析函数

复变函数导数

1. 复变函数可导的定义：

函数$w=f(z)$是在区域B上定义的单值函数，在B上某点z，极限
$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$
存在且与$\Delta z\to 0$的方式无关，则称函数$w=f(z)$在z点可导。

复变函数的导数满足实变函数导数中的大多数运算性质，如加法、减法、乘法、除法、求倒、链式法则。

2. 函数可导的必要条件：Cauchy-Riemann方程/条件

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& =-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}$$

此时：
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial y}$$

3. 函数可导的充要条件: u(x,y),v(x,y)都可微，且满足柯西-黎曼条件。

解析函数

1. 定义

如果f(z)在点$z_0$及其邻域上处处可导，则称f(z)在点$z_0$解析；

如果f(z)在区域B上的每一点解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。

2. **若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u,v都是区域B上的调和函数。**即：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$

3. 计算$v=\int dv$的方法：

   • 曲线积分法：选取特殊路径（比如：矩形的两边）作为积分路径；
   • 凑全微分显式法；
   • 不定积分法：对每个变量逐个积分。

4. 函数解析的充要条件：u,v在区域B上可微，且满足柯西-黎曼条件。

注：

• 解析函数的实部或虚部必须是调和函数；
• 求$v=\int dv$时，可以采用极坐标。

复变函数积分

复变函数积分

对$z=x+iy,f=u+iv$，
$${\int }_{l}f(z)dz={\int }_l(udx-vdy)+i{\int }_l(vdx+udy)$$

柯西积分定理

1. 单连通区域柯西定理

如果函数f(z)在闭单连通区域$\overline{B}$上解析，则沿$\overline{B}$上任何一段光滑闭合曲线$l$（也可以是$\overline{B}$的边界），有：
$${\oint }_{l}f(z)dz=0$$

2. 复连通区域柯西定理

如果函数f(z)是闭复连通区域$\overline{B}$中的单值解析函数，则有：
$${\oint }_{l}f(z)dz+\sum _{i=1}^n{\oint }_{l_i}f(z)dz=0$$
其中，$l$表示区域外边界线，$l_i$表示区域内边界线，积分均按照边界线的正方向进行。

复连通区域柯西定理也可以写作下列形式：（更加常用的形式，在边界里面挖洞之后将外边界积分转化为内边界积分之和）
$${\oint }_{l}f(z)dz=\sum _{i=1}^n{\oint }_{l_i}f(z)dz$$
积分均按照逆时针方向。

3. 非常有用的一个环路积分(尤其是在留数定理中应用甚广)

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{dz}{z-\alpha }=\{\begin{array}{rclc}& 0& for& l不包围\alpha \\ & 1& for& l包围\alpha \end{array}\\ & \frac{1}{2\pi i}{\oint }_l(z-\alpha {)}^{n}dz=0,(n\ne -1)\end{array}$$

柯西积分公式

1. 柯西积分公式

$$f(\alpha )=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$$

$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}d\zeta$$

利用柯西积分公式可以将积分转化为某点的函数值。

2. 刘维尔定理

如果函数f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即$|f(z)\le M|$，则函数f(z)一定为常数。

幂级数和泰勒级数

有复数项的无穷级数的收敛问题，可以转化为实部和虚部两个实数项级数的收敛问题。

幂级数

对幂级数$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$，引入记号
$$R=\underset{k\to \infty }{\lim }|\frac{a_k}{a_{k+1}}|$$
若$|z-z_0|<R$，则幂级数收敛。

幂级数在收敛圆的内部（比半径为R的圆稍小一点的闭区域）收敛，在收敛圆外部发散。

幂级数逐项积分和逐项微分都不改变收敛半径。

泰勒级数

1. 定义：

设f(z)在以$z_0$为圆心的圆$C_R$上解析，则对圆内的任意z点，f(z)都可以展成幂级数：
$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k,$$
其中，
$$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_{R_1}}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta =\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(z_0)$$
$C_{R_1}$是$C_R$圆内包含z且与$C_R$同心的圆。

2. 常用的泰勒级数展开

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\dots ,|z|<1\\ & e^z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}\\ & \sin z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{z}^{2k+1}\\ & \cos z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{z}^{2k}\end{array}$$

注：求某个函数的泰勒展开时，可以考虑用一些基本函数的泰勒展开代入、求导、积分等转化。

洛朗级数

洛朗级数

定义：

设f(z)在环形区域$R_2<|z-z_0|<R_1$内部单值解析，则对于环域上任何一点z，f(z)可以展开为双边幂级数：
$$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$$
其中，
$$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta$$
这里，$l$是环域内的绕内圆一周的任意闭合曲线。

将一个函数展开为洛朗级数，一般会用到下面的式子：
$\frac{1}{1-z}=\sum _{k=0}^{\infty }{z}^k,|z|<1$

孤立奇点的分类和判定

1. 孤立奇点的定义：f(z)在$z_0$点不解析，但在$z_0$的$0<|z-z_0|<\delta$内解析，即在$z_0$的领域内解析。

2. 孤立奇点的分类和判定：
   $$\mathrm{Z}=\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$$

类型	定义	判定	取舍
可去奇点	展开式中不含有$z-z_0$的负幂项	$\mathrm{Z}=c_0$为常数	不作为奇点看待
极点	展开式中含有有限项$z-z_0$的负幂项	$\mathrm{Z}=\infty$	留数可求且为重点
本性奇点	展开式中含有无限项$z-z_0$的负幂项	$\mathrm{Z}$不存在且不为$\infty$	难以刻画

零点和极点的关系：$z_0$是f(z)的m级零点$\iff$$z_0$是$\frac{1}{f(z)}$的m级极点。

留数定理

1. 留数的定义

$z_0$是$f(z)$的孤立奇点，即存在R使$f(z)$在圆环$0<|z-z_0|<R$内解析，其洛朗展开为：
$$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$$
其中项$(z-z_0{)}^{-1}$的系数
$$a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-z_0|=r}f(z)dz,0<r<R$$
称为f(z)在点$z_0$的留数，记作$Resf(z_0)$

2. 留数定理

设函数f(z)在回路$l$上所围区域B上除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\dots ,z_n$外解析，在闭区域$\overline{B}$上除$z_1,z_2,\dots ,z_n$外连续，则：
$${\oint }_{l}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Resf(z_k)$$

留数定理将积分问题转化为留数求解问题。

3. 留数求解

   • 单极点

   $$\begin{array}{rl}& Resf(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }((z-z_0)f(z));\\ & Resf(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{(z-z_0)P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}，对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且P(z_0)\ne 0,z_0是Q(z)的一阶零点。\\ & Resf(z_0)=\frac{(z+1)P^{(n)}(z_0)}{Q^{(n+1)}(z_0)}，对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且z_0是Q(z)的n+1阶零点，又是P(z)的n阶零点。\end{array}$$

   • n阶极点

   $$Resf(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{1}{(z-1)!}(\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}((z-z_0{)}^{n}f(z)))$$

4. ∞的留数

若∞是f(z)的孤立奇点，即存在$R>0$使得f(z)在圆环$R<|z-z_0|<+\infty$内解析，其洛朗展开为：
$$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{z}^k$$
其中$z^{-1}$项的系数的相反数被称为∞点的留数，即：
$$Resf(\infty )=-a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}f(z)dz,r<r<+\infty$$
可以证明：函数f(z)若在扩充复平面上只有有限个孤立奇点，则f(z)在各点的留数之和等于0。即：
$$Resf(\infty )+\sum _{k=1}^{n}Resf(z_k)=0$$

5. 留数定理在积分问题中的应用

• 类型一
  $$I={\int }_0^{2\pi }R(\cos x,\sin x)dx$$
  被积函数是三角函数的有理式，积分区间是$[0,2\pi ]$。

  方法是变量替换：
  $$\begin{array}{rl}& z=e^{ix}\\ \therefore & \cos x=\frac{1}{2}(z+z^{-1}),\sin x=\frac{1}{2i}(z-z^{-1}),dx=\frac{1}{iz}dz\end{array}$$
  注意不要用共轭复数$z^{\ast }$，注意积分空间是在单位圆内从而确定在单位圆内的极点个数

• 类型二
  $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$$
  积分空间为$(-\infty ,\infty )$，复变函数f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外都是解析的；当z在上半平面及实轴上$\to \infty$时，zf(z)一致的$\to \infty$。
  I=∫−∞∞f(x)dx=2πi∑z0∈{上半平面内奇点全体}Resf(z0) I=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内奇点全体\}}Res f(z_0) I=∫−∞∞​f(x)dx=2πiz0​∈{上半平面内奇点全体}∑​Resf(z0​)

• 类型三
  $$\begin{array}{rl}& I_1={\int }_0^{\infty }f(x)\cos mxdx\\ & I_2={\int }_0^{\infty }g(x)\sin mxdx\end{array}$$
  积分区间$[0,+\infty )$，偶函数f(x)和奇函数g(x)在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外都是解析的；当z在上半平面及实轴上$\to \infty$时，f(z)和g(z)一致的$\to \infty$。

  当m>0时：
  I1=∫0∞f(x)cos⁡mxdx=12∫−∞∞f(x)eimxdx=πi∑z0∈{上半平面内全体奇点}Res(f(z0)eimz0)I2=∫0∞g(x)sin⁡mxdx=12i∫−∞∞g(x)eimxdx=π∑z0∈{上半平面内全体奇点}Res(g(z0)eimz0) \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{imx}dx=\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{imx}dx=\pi \sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} ​I1​=∫0∞​f(x)cosmxdx=21​∫−∞∞​f(x)eimxdx=πiz0​∈{上半平面内全体奇点}∑​Res(f(z0​)eimz0​)I2​=∫0∞​g(x)sinmxdx=2i1​∫−∞∞​g(x)eimxdx=πz0​∈{上半平面内全体奇点}∑​Res(g(z0​)eimz0​)​
  当m<0时：
  I1=∫0∞f(x)cos⁡mxdx=−πi∑z0∈{下半平面内全体奇点}Res(f(z0)eimz0)I2=∫0∞g(x)sin⁡mxdx=−π∑z0∈{下半平面内全体奇点}Res(g(z0)eimz0) \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=-\pi i\sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=-\pi \sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} ​I1​=∫0∞​f(x)cosmxdx=−πiz0​∈{下半平面内全体奇点}∑​Res(f(z0​)eimz0​)I2​=∫0∞​g(x)sinmxdx=−πz0​∈{下半平面内全体奇点}∑​Res(g(z0​)eimz0​)​

• 类型四
  $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$$
  函数f(z)在实轴上有单极点$z=\alpha$，除此之外，函数f(z)满足类型二或者类型三。
  ∫−∞∞f(x)dx=2πi∑z0∈{上半平面内全体奇点}Resf(z0)+πi∑α∈{实轴上的全体奇点}Resf(α) \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res f(z_0)+\pi i \sum_{\alpha \in \{实轴上的全体奇点\}}Res f(\alpha) ∫−∞∞​f(x)dx=2πiz0​∈{上半平面内全体奇点}∑​Resf(z0​)+πiα∈{实轴上的全体奇点}∑​Resf(α)
  α只能是单极点，当为二阶及以上极点时，积分为∞，当为本性奇点时，积分不存在。